Випуклий n-кут (де n ≥ 4) має особливість, що жодні три діагоналі не перетинаються у одній точці. Доведіть

Orel

30

Для доведення даного твердження, давайте проанализируемо структуру n-кута.

У n-куті каждая вершина соединена диагональю с каждой другой вершиной, кроме смежных. То есть, у каждой вершины лежащей на расстоянии более чем 1 от данной вершины, есть соединение-диагональ.

В каждом четырехугольнике, все вершины которого являются вершинами n-кута, есть пара противоположных диагоналей. Важно отметить, что диагонали никогда не пересекаются в одной точке в n-куте.

Давайте докажем, что каждый четырехугольник соответствует точке пересечения диагоналей:

1. Выбираем одну вершину n-кута, и соединяем эту вершину с каждой другой вершиной лежащей на расстоянии более чем 1 от данной вершины. Таким образом, каждая пара противоположных диагоналей образует четырехугольник.
2. Количество таких четырехугольников будет равно количеству всех точек пересечений диагоналей.

Таким образом, мы доказали, что количество всех точек пересечений диагоналей в n-куте равно количеству четырехугольников, все вершины которых являются вершинами данного n-кута.