1) Укажите пару чисел, которая удовлетворяет системе уравнений 2x - y = 0 и 2x + y = 2/3. Ответ: 2) Сколько решений

Snezhka

39

Хорошо, решим по порядку каждую задачу.

1) Для начала рассмотрим систему уравнений:
\[
\begin{align*}
2x - y &= 0 \\
2x + y &= \frac{2}{3}
\end{align*}
\]

Для удобства решения системы, мы можем суммировать оба уравнения. Таким образом, получим:
\[4x = \frac{2}{3}\]

Разделим обе части уравнения на 4:
\[x = \frac{1}{6}\]

Теперь, чтобы найти значение \(y\), подставим \(x\) в любое из исходных уравнений. Давайте подставим \(x = \frac{1}{6}\) в первое уравнение:
\[2(\frac{1}{6}) - y = 0\]

Упростим это выражение:
\[\frac{1}{3} - y = 0\]

Избавимся от дроби, перенеся \(\frac{1}{3}\) на другую сторону уравнения:
\[y = \frac{1}{3}\]

Таким образом, пара чисел, удовлетворяющая данной системе уравнений, - это \(x = \frac{1}{6}\) и \(y = \frac{1}{3}\).

2) Теперь рассмотрим систему уравнений:
\[
\begin{align*}
-8x - 6y &= 16 \\
4x + 3y &= 10
\end{align*}
\]

Используя метод умножения первого уравнения на \(2\) и суммирования обоих уравнений, мы можем избавиться от переменной \(x\). Проведем эти вычисления:
\[
\begin{align*}
-16x - 12y &= 32 \\
4x + 3y &= 10 \\
\hline
-9y &= 42
\end{align*}
\]

Делим обе части последнего уравнения на \(-9\):
\[y = -\frac{14}{3}\]

Теперь подставим значение \(y\) во второе из исходных уравнений:
\[4x + 3(-\frac{14}{3}) = 10\]

Упростим это уравнение:
\[4x - 14 = 10\]

Добавим \(14\) к обеим сторонам уравнения:
\[4x = 24\]

Делим обе части уравнения на \(4\):
\[x = 6\]

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение: \(x = 6\) и \(y = -\frac{14}{3}\).

3) Займемся решением системы уравнений:
\[
\begin{align*}
4(x - 6) - 5y &= 4y - 22 \\
8x &= 4(y - 8) + 64
\end{align*}
\]

Раскроем скобки в первом уравнении:
\[4x - 24 - 5y = 4y - 22\]

Перенесем все члены с переменными на одну сторону уравнения:
\[4x - 4y = 5y - 24 + 22\]
\[4x - 4y = 5y - 2\]

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\[8x = 4y - 32 + 64\]

Упростим это уравнение:
\[8x = 4y + 32\]

Мы видим, что оба уравнения содержат выражение \(4x - 4y\). Приравняем их:
\[4x - 4y = 8x\]
\[0 = 4x + 4y\]

Разделим оба члена уравнения на 4:
\[0 = x + y\]

Таким образом, получаем, что \(x = -y\). Возвращаемся к одному из исходных уравнений для выражения \(x\) или \(y\). Давайте подставим \(x = -y\) в первое уравнение:
\[4(-y - 6) - 5y = 4y - 22\]

Раскроем скобки:
\[-4y - 24 - 5y = 4y - 22\]

Сгруппируем переменные \(y\) на одну сторону уравнения:
\[-9y - 24 = 9y - 22\]

Перенесем константы на другую сторону уравнения:
\[-9y - 9y = 22 - 24\]
\[-18y = -2\]

Разделим обе части уравнения на \(-18\):
\[y = \frac{1}{9}\]

Теперь, используя значение \(y\), найдем \(x\) в уравнении \(x = -y\):
\[x = -\frac{1}{9}\]

Таким образом, решение системы уравнений: \(x = -\frac{1}{9}\) и \(y = \frac{1}{9}\).

Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте мне знать!