Визначте міру кута А у трикутнику АВС з точками А(2;-2;-3), В(4;-2;-1), С(2,-2,2

Solnechnyy_Podryvnik

29

Чтобы определить меру угла A в треугольнике ABC с вершинами в точках A(2;-2;-3), B(4;-2;-1) и C(2,-2,2), необходимо воспользоваться формулой косинусов.

Вначале нужно найти длины сторон треугольника AB, BC и AC. Это можно сделать, применив формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где \(d\) - расстояние между двумя точками с координатами \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\).

Таким образом, для стороны AB:

\[AB = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-2 + 2)^2 + (-1 + 3)^2}\]

\[AB = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

Для стороны BC:

\[BC = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-2 + 2)^2 + (-1 - 2)^2}\]

\[BC = \sqrt{2^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{13}\]

Для стороны AC:

\[AC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 + 2)^2 + (-3 - 2)^2}\]

\[AC = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-5)^2} = 5\]

Зная длины сторон, мы можем применить формулу косинусов:

\[\cos(A) = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC}\]

Подставляем значения:

\[\cos(A) = \frac{(\sqrt{13})^2 + 5^2 - (2\sqrt{2})^2}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 5}\]

\[\cos(A) = \frac{13 + 25 - 8}{10\sqrt{13}} = \frac{30}{10\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}\]

Теперь можем вычислить меру угла A, воспользовавшись обратным косинусом:

\[A = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\]

Чтобы получить приближенное численное значение угла в градусах, можно воспользоваться калькулятором:

\[A \approx 0.7056\ градусов\]

Таким образом, мера угла A в треугольнике ABC составляет приблизительно 0.7056 градусов.