Вконус имеет радиус основания, равный 6, и внутри него вписан шар с радиусом 3.а) Сформулируйте доказательство того

Aleksandrovna

21

а) Доказательство того, что осевое сечение конуса образует остроугольный треугольник можно провести следующим образом:

Рассмотрим ось конуса, проходящую через его вершину и центр вписанного шара. Осевое сечение представляет собой плоскость, перпендикулярную оси конуса и пересекающую его основание.

Обозначим точки пересечения плоскости с основанием конуса как A и B. Поскольку осевое сечение пересекает основание, то точки A и B лежат на окружности радиусом 6.

Рассмотрим треугольник OAB, где O - центр вписанного шара, A и B - точки пересечения плоскости с окружностью. Так как отрезки OA и OB являются радиусами шара и равны 3, то треугольник OAB является равнобедренным.

Так как треугольник OAB является равнобедренным, то у него все углы равны между собой. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что они являются острыми углами.

Таким образом, осевое сечение конуса образует остроугольный треугольник.

б) Чтобы найти отношение полной поверхности конуса к поверхности шара, необходимо вычислить площади этих поверхностей и разделить их.

Площадь полной поверхности конуса можно вычислить по формуле \( S_{\text{конуса}} = \pi r (r + l) \), где \( r \) - радиус основания конуса, а \( l \) - образующая конуса.

Для нашего конуса радиус основания равен 6. Остается найти длину образующей конуса. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания, образующей и образующей шара:

\[ l = \sqrt{r^2 + (2r)^2} = \sqrt{r^2 + 4r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5} \]

Теперь мы можем подставить значение радиуса и образующей в формулу для площади полной поверхности конуса:

\[ S_{\text{конуса}} = \pi \cdot 6 \cdot (6 + 6\sqrt{5}) = 72\pi(1+\sqrt{5}) \]

Площадь поверхности шара равна \( S_{\text{шара}} = 4\pi r^2 \), где \( r \) - радиус шара.

Для нашего шара радиус равен 3. Подставим значение радиуса в формулу:

\[ S_{\text{шара}} = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi \]

Таким образом, отношение полной поверхности конуса к поверхности шара будет:

\[ \frac{S_{\text{конуса}}}{S_{\text{шара}}} = \frac{72\pi(1+\sqrt{5})}{36\pi} = 2(1+\sqrt{5}) \]