Владелец монополии на рынке определенного товара, фирмы папа и сын , стремится максимизировать свою прибыль. Он знает
Владелец монополии на рынке определенного товара, фирмы "папа и сын", стремится максимизировать свою прибыль. Он знает функцию спроса на товар (qd = 160 – 0,5p, где qd - спрос в тысячах единиц, p - цена в рублях) и переменные затраты фирмы (vc = 20q + q2, где q - количество произведенной продукции в тысячах единиц, vc - переменные издержки в рублях). После консультации со своим сыном, который недавно изучал эту тему в школе, владелец установил цену таким образом, чтобы эластичность спроса по цене была равна -1. Сын посоветовал отцу выбрать именно такую цену, так как она максимально подходит. В результате...
Ирина 4
Хорошо, давайте разберем эту задачу шаг за шагом.Первым шагом является определение функции прибыли фирмы. Прибыль рассчитывается как разность между выручкой и издержками. Выручка равна произведению цены на количество продукции:
\[TR = p \times q\]
Издержки состоят из постоянных издержек (фиксированные затраты) и переменных издержек:
\[TC = FC + VC\]
Где FC - фиксированные затраты, VC - переменные издержки. Будем считать фиксированные затраты равными нулю, так как задача нам не дает информации о них.
Теперь вам нужно найти выражение для переменных издержек. Из условия задачи мы знаем, что переменные издержки определяются уравнением:
\[VC = 20q + q^2\]
Далее, нам нужно определить функцию спроса на товар. В данном случае, спрос на товар зависит от цены. Функция спроса задана уравнением:
\[qd = 160 - 0.5p\]
Мы можем найти функцию выручки (TR) путем подстановки функции спроса (qd) в формулу для выручки:
\[TR = p \times qd = p \times (160 - 0.5p)\]
Теперь мы можем рассчитать прибыль (П):
\[P = TR - TC = TR - (VC + FC)\]
\[P = p \times (160 - 0.5p) - (20q + q^2)\]
Для определения максимальной прибыли мы должны найти момент, когда производная прибыли равна нулю. Для этого продифференцируем функцию прибыли по p и приравняем к нулю:
\[\frac{{dP}}{{dp}} = 160 - p - (20 \frac{{dq}}{{dp}} + 2q \frac{{dq}}{{dp}})\]
Так как нам дано условие, что эластичность спроса по цене (\(E_d\)) равна -1, мы можем использовать формулу для эластичности спроса:
\[E_d = \frac{{dq}}{{dp}} \frac{{p}}{{q}}\]
Подставляем в формулу полученные значения:
\[-1 = -\frac{{dq}}{{dp}} \frac{{p}}{{q}}\]
Отсюда следует, что:
\[\frac{{dq}}{{dp}} = \frac{{q}}{{p}}\]
Возвращаясь к выражению для производной прибыли:
\[160 - p - (20 \times \frac{{q}}{{p}} + 2q \times \frac{{q}}{{p}}) = 0\]
Раскрывая скобки и упрощая выражение:
\[160 - p - \frac{{20q}}{{p}} - 2q^2 \frac{{q}}{{p}} = 0\]
Упрощаем уравнение:
\[160p - p^2 - 20q - 2q^2 = 0\]
Теперь у нас есть уравнение, которое позволяет найти значения цены (p) и количества (q), при которых прибыль будет максимальной. Чтобы решить это уравнение, мы должны использовать методы алгебры или графического анализа.
Я надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять постановку задачи и методы ее решения. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.