Во сколько раз изменится центростремительное ускорение точек обода колеса, если период обращения колеса сократится

Mihaylovna

9

Данная задача связана с движением точек на окружности и требует понимания центростремительного ускорения и его зависимости от периода обращения колеса.

Центростремительное ускорение ( \(a_c\) ) точки, движущейся по окружности, можно выразить через период обращения колеса ( \(T\) ) и радиус окружности ( \(r\) ) следующей формулой:

\[a_c = \frac{4\pi^2r}{T^2} \]

Для данной задачи нам нужно найти, во сколько раз изменится центростремительное ускорение, если период обращения колеса сократится вдвое. Пусть исходный период обращения равен \(T_1\), а измененный период после сокращения вдвое будет \(T_2\).

Для нахождения соотношения между исходным и измененным ускорениями, подставим \(T_1\) и \(T_2\) в формулу центростремительного ускорения:

\[a_{c_1} = \frac{4\pi^2r}{T_1^2} \]
\[a_{c_2} = \frac{4\pi^2r}{T_2^2} \]

Теперь найдем соотношение между \(a_{c_1}\) и \(a_{c_2}\). Для этого разделим формулу для \(a_{c_2}\) на формулу для \(a_{c_1}\):

\[\frac{a_{c_2}}{a_{c_1}} = \frac{\frac{4\pi^2r}{T_2^2}}{\frac{4\pi^2r}{T_1^2}} \]
\[\frac{a_{c_2}}{a_{c_1}} = \frac{T_1^2}{T_2^2} \]

Теперь заметим, что новый период обращения равен исходному периоду, деленному на 2 ( \(T_2 = \frac{T_1}{2}\)). Подставим это значение в последнее выражение:

\[\frac{a_{c_2}}{a_{c_1}} = \frac{T_1^2}{\left(\frac{T_1}{2}\right)^2} \]
\[\frac{a_{c_2}}{a_{c_1}} = \frac{T_1^2}{\frac{T_1^2}{4}} \]

Для удобства, упростим выражение, помня, что деление на дробь равно умножению на обратную дробь:

\[\frac{a_{c_2}}{a_{c_1}} = \frac{T_1^2 \cdot 4}{T_1^2} \]
\[\frac{a_{c_2}}{a_{c_1}} = 4 \]

Таким образом, центростремительное ускорение точек обода колеса изменится в 4 раза, если период обращения колеса сократится вдвое. Это означает, что ускорение точек станет в 4 раза больше после сокращения периода обращения.