Во время эксперимента шарик скатывался вниз по наклонному желобу. Измеряли расстояние S, пройденное шариком, и время

Skat

38

Для решения данной задачи используем формулу равноускоренного движения:

\[S = ut + \frac{1}{2}at^2\]

где:
- S - пройденное расстояние (в сантиметрах),
- u - начальная скорость (равна нулю в данной задаче),
- t - время движения (в секундах),
- a - ускорение шарика (неизвестное значение, которое нам нужно найти).

Для начала, найдем ускорение по данным из таблицы. Будем обозначать ускорение как \(a\).

Подставим каждую пару значений S и t из таблицы в формулу равноускоренного движения и получим систему уравнений:

\[\begin{cases} 12.5 = \frac{1}{2}a(1.12)^2 \\ 12.8 = \frac{1}{2}a(1.16)^2 \\ 12.7 = \frac{1}{2}a(1.14)^2 \\ 13.0 = \frac{1}{2}a(1.20)^2 \\ 13.6 = \frac{1}{2}a(1.24)^2 \end{cases}\]

Давайте решим эту систему уравнений и найдем значение ускорения.

Решение:

Умножим уравнения на 2 и избавимся от дробей:

\[\begin{cases} 25a = (1.12)^2 \\ 25.6a = (1.16)^2 \\ 25.4a = (1.14)^2 \\ 26a = (1.20)^2 \\ 27.2a = (1.24)^2 \end{cases}\]

Затем найдем каждое значение \(a\) путем деления левой части уравнения на правую:

\[\begin{cases} a = \frac{(1.12)^2}{25} \approx 0.050048 \\ a = \frac{(1.16)^2}{25.6} \approx 0.05203 \\ a = \frac{(1.14)^2}{25.4} \approx 0.050512 \\ a = \frac{(1.20)^2}{26} \approx 0.055385 \\ a = \frac{(1.24)^2}{27.2} \approx 0.058226 \end{cases}\]

Среднее значение ускорения можно найти, просто посчитав среднее арифметическое всех вычисленных значений:

\[\bar{a} = \frac{1}{5} \cdot (0.050048 + 0.05203 + 0.050512 + 0.055385 + 0.058226)\]

Рассчитаем среднее значение ускорения:

\[\bar{a} \approx 0.05324\]

Теперь, когда у нас есть ускорение шарика (\(a\)), мы можем рассчитать его среднюю скорость. Для равноускоренного движения, средняя скорость равна половине суммы начальной и конечной скоростей. В данной задаче начальная скорость равна нулю, поэтому средняя скорость будет равна конечной скорости. Обозначим ее как \(v\).

\[\bar{v} = at\]

Подставим среднее значение ускорения и каждое значение времени (\(t\)) из таблицы:

\[\begin{cases} \bar{v} = 0.05324 \cdot 1.12 \approx 0.059725 \\ \bar{v} = 0.05324 \cdot 1.16 \approx 0.06182 \\ \bar{v} = 0.05324 \cdot 1.14 \approx 0.060617 \\ \bar{v} = 0.05324 \cdot 1.20 \approx 0.063888 \\ \bar{v} = 0.05324 \cdot 1.24 \approx 0.065954 \end{cases}\]

Теперь давайте посчитаем абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность - это разница между полученным значением и средним значением:

\[\Delta a_i = |a_i - \bar{a}|\]

А относительная погрешность вычисляется следующим образом:

\[\delta a_i = \left| \frac{\Delta a_i}{\bar{a}} \right| \cdot 100\%\]

Вычислим погрешности для каждого значения \(a_i\) из таблицы:

\[\begin{cases} \Delta a_1 = |0.050048 - 0.05324| \approx 0.003192 \\ \Delta a_2 = |0.05203 - 0.05324| \approx 0.00121 \\ \Delta a_3 = |0.050512 - 0.05324| \approx 0.002728 \\ \Delta a_4 = |0.055385 - 0.05324| \approx 0.002145 \\ \Delta a_5 = |0.058226 - 0.05324| \approx 0.004986 \end{cases}\]

\[\begin{cases} \delta a_1 = \left| \frac{0.003192}{0.05324} \right| \cdot 100\% \approx 6\% \\ \delta a_2 = \left| \frac{0.00121}{0.05324} \right| \cdot 100\% \approx 2.27\% \\ \delta a_3 = \left| \frac{0.002728}{0.05324} \right| \cdot 100\% \approx 5.12\% \\ \delta a_4 = \left| \frac{0.002145}{0.05324} \right| \cdot 100\% \approx 4.03\% \\ \delta a_5 = \left| \frac{0.004986}{0.05324} \right| \cdot 100\% \approx 9.37\% \end{cases}\]

Наконец, построим график зависимости \(S\) от \(t\).

\[S\) от \(t\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t, с & S, см \\
\hline
1.12 & 12.5 \\
\hline
1.16 & 12.8 \\
\hline
1.14 & 12.7 \\
\hline
1.20 & 13.0 \\
\hline
1.24 & 13.6 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим точки на графике, где ось x будет обозначать время \(t\), а ось y - пройденное расстояние \(S\) для каждого из экспериментов. Также проведем прямую, проходящую через полученные точки, чтобы визуализировать зависимость \(S\) от \(t\).

Окончательный ответ:

- Ускорение шарика: \(a \approx 0.05324\)
- Абсолютные погрешности: \(\Delta a_1 \approx 0.003192\), \(\Delta a_2 \approx 0.00121\), \(\Delta a_3 \approx 0.002728\), \(\Delta a_4 \approx 0.002145\), \(\Delta a_5 \approx 0.004986\)
- Относительные погрешности: \(\delta a_1 \approx 6\%\), \(\delta a_2 \approx 2.27\%\), \(\delta a_3 \approx 5.12\%\), \(\delta a_4 \approx 4.03\%\), \(\delta a_5 \approx 9.37\%\)
- Средняя скорость шарика на всем пути: \(\bar{v_1} \approx 0.059725\), \(\bar{v_2} \approx 0.06182\), \(\bar{v_3} \approx 0.060617\), \(\bar{v_4} \approx 0.063888\), \(\bar{v_5} \approx 0.065954\)
- График зависимости \(S\) от \(t\) (ось \(x\) - время, ось \(y\) - пройденное расстояние):

\[S\) от \(t\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t, с & S, см \\
\hline
1.12 & 12.5 \\
\hline
1.16 & 12.8 \\
\hline
1.14 & 12.7 \\
\hline
1.20 & 13.0 \\
\hline
1.24 & 13.6 \\
\hline
\end{array}
\]