вопрос: а) Запишите вероятности для случайной величины X, которая представляет собой выбор тома романа «Пиковая дама»

  • 40
вопрос:
а) Запишите вероятности для случайной величины X, которая представляет собой выбор тома романа «Пиковая дама» из четырехтомника А.С. Пушкина.
б) Запишите функцию распределения для случайной величины X.
в) Найдите математическое ожидание M(X).
Пчелка
11
a) Запишем вероятности для случайной величины X, которая представляет собой выбор тома романа «Пиковая дама» из четырехтомника А.С. Пушкина.

Для данной случайной величины имеем 4 возможных исхода, так как в четырехтомнике есть 4 тома романа "Пиковая дама". Обозначим вероятность выбора каждого из томов как P(X=i), где i - номер тома (1, 2, 3, 4).

Так как выбор тома является случайным и все тома равноценны, то вероятности выбора каждого тома равны.

Поэтому вероятности для случайной величины X записываются следующим образом:

P(X=1) = 1/4

P(X=2) = 1/4

P(X=3) = 1/4

P(X=4) = 1/4

б) Запишем функцию распределения для случайной величины X.

Функция распределения F(x) для случайной величины X задается следующим образом:

F(x) = P(X <= x)

Для каждого значения x будем вычислять сумму вероятностей до этого значения.

Так как у нас 4 тома, то функция распределения будет иметь следующий вид:

F(x) = 0, при x < 1 (так как значение X не может быть меньше 1)

F(x) = 1/4, при 1 <= x < 2

F(x) = 1/2, при 2 <= x < 3

F(x) = 3/4, при 3 <= x < 4

F(x) = 1, при x >= 4 (так как значение X не может быть больше 4)

Таким образом, функция распределения для случайной величины X в данной задаче будет:

F(x) = \(\begin{cases}
0, \text{при} \ x < 1 \\
1/4, \text{при} \ 1 \leq x < 2 \\
1/2, \text{при} \ 2 \leq x < 3 \\
3/4, \text{при} \ 3 \leq x < 4 \\
1, \text{при} \ x \geq 4 \\
\end{cases}\)

в) Найдем математическое ожидание для случайной величины X.

Математическое ожидание (среднее значение) E(X) вычисляется по формуле:

E(X) = \(\sum x \cdot P(X=x)\)

где x - возможное значение случайной величины, P(X=x) - вероятность выбора этого значения.

В нашем случае, значения случайной величины X - это номера томов романа "Пиковая дама": 1, 2, 3, 4.

Используя вероятности, которые мы вычислили ранее, можно найти математическое ожидание:

E(X) = 1/4 \cdot 1 + 1/4 \cdot 2 + 1/4 \cdot 3 + 1/4 \cdot 4

E(X) = 1/4 + 1/2 + 3/4 + 1

E(X) = 3/4 + 3/4 + 1

E(X) = 6/4 + 4/4

E(X) = 10/4

E(X) = 2.5

Таким образом, математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X равно 2.5.