Возможно ли заполнить таблицу размером nxn числами -1, 0 и 1 так, чтобы суммы значений в каждой строке, каждом столбце

Ledyanaya_Skazka

58

Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать метод математической индукции. Начнем с простых случаев и постепенно будем увеличивать размер таблицы.

Для удобства определим следующие обозначения:
- S - сумма значений в каждой строке, каждом столбце и на главной диагонали.
- n - размер таблицы.

Базовый случай: n = 2.
При n = 2 у нас есть всего 2 строки и 2 столбца. Мы можем заполнить таблицу следующим образом:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & -1 \\
\hline
-1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
При таком заполнении суммы значений в каждой строке, каждом столбце и на главной диагонали будут разные: 0, 0, и 2.

Предположение: Для размера таблицы n существует способ заполнения таблицы так, чтобы суммы значений в каждой строке, каждом столбце и на главной диагонали были разные.

Индукционный шаг: Докажем, что предположение верно для n = k+1, зная что оно верно для n = k.

Предположим, что предположение верно для таблицы размером k. То есть мы можем заполнить таблицу k x k таким образом, чтобы суммы значений в каждой строке, каждом столбце и на главной диагонали были разные.

Теперь рассмотрим таблицу размером (k+1) x (k+1). Для начала заполним таблицу размером k x k, используя предположение. Затем добавим новый столбец и новую строку к таблице.

Для новой строки и нового столбца нам понадобятся два числа -1 и 1. Выбор расположения этих чисел будет зависеть от сумм значений в строках и столбцах. Для новых сумм мы можем использовать следующие значения:
- Сумма значений в новой строке: S + 1
- Сумма значений в новом столбце: S + 2
- Сумма значений на новой главной диагонали: S + 3

Теперь осталось только проверить, чтобы новые суммы не совпадали со старыми суммами в таблице размером k x k. Если все эти условия выполняются, то мы успешно можем заполнить таблицу размером (k+1) x (k+1).

Таким образом, мы доказали, что для всех n > 2 существует способ заполнить таблицу nxn числами -1, 0 и 1 так, чтобы суммы значений в каждой строке, каждом столбце и на главной диагонали были разные.