Впараллелограмме ABCD угол C составляет 47°. Найдите величину угла между векторами DC и BC, угол между векторами

Schavel

68

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые свойства параллелограмма и знание о векторах.

Во-первых, свойства параллелограмма говорят нам, что внутри него противоположные стороны равны по длине и параллельны друг другу. Таким образом, сторона AB равна стороне CD, и сторона BC равна стороне AD.

Теперь давайте рассмотрим вопрос о величине угла между векторами DC и BC. Здесь нам поможет знание о формуле, связывающей скалярное произведение векторов и косинус угла между ними:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}}\]

где \(\theta\) - угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) - скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), а \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - их длины соответственно.

В нашем случае, \(\mathbf{a}\) будет вектором DC, а \(\mathbf{b}\) - вектором BC. Мы уже знаем, что эти векторы равны по длине, поэтому скалярное произведение будет равно произведению их длин:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|\)

Таким образом, \(\cos(\theta) = 1\), что означает, что угол между векторами DC и BC равен \(0^\circ\).

Аналогично, угол между векторами DA и BC также будет равен \(0^\circ\), так как вектор DA равен вектору BC.

Наконец, угол между векторами AB и DA можно найти, используя ту же формулу для скалярного произведения:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}}\]

Здесь \(\mathbf{a}\) будет вектором AB, а \(\mathbf{b}\) - вектором DA. Подставляем значения и получаем:

\(\cos(\theta) = \frac{{AB \cdot DA}}{{\|AB\| \cdot \|DA\|}}\)

Так как мы знаем, что вектор DA равен вектору BC, мы можем заменить DA на BC в формуле:

\(\cos(\theta) = \frac{{AB \cdot BC}}{{\|AB\| \cdot \|BC\|}}\)

Обозначим угол между векторами AB и DA через \(\alpha\). Подставляем значения в формулу скалярного произведения:

\(\cos(\alpha) = \frac{{AB \cdot BC}}{{AB \cdot BC}}\)

Как видно, в числителе и знаменателе стоит одно и то же значение, поэтому мы получаем:

\(\cos(\alpha) = 1\)

Таким образом, угол между векторами AB и DA также равен \(0^\circ\).

Суммируя градусные измерения всех углов, получаем:

\(0^\circ + 0^\circ + 0^\circ = 0^\circ\)

Таким образом, сумма градусных измерений всех углов равна \(0^\circ\).