Втетраэдре на рёбрах da и cb есть точки e и f такие, что отношение de:ea=1:7 и cf:fb=1:7. 1. Каким образом можно

Nikolaevich

40

Давайте решим задачу по порядку.

1. Для разложения вектора \(\overrightarrow{FE}\) по векторам \(\overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{B}\) и \(\overrightarrow{C}\), мы можем воспользоваться правилом параллелограмма. Согласно этому правилу, для любого вектора любой точки на этом векторе можно представить в виде суммы векторов, начинающихся в начале координат и заканчивающихся в этой точке.

Представим вектор \(\overrightarrow{FE}\) в виде суммы векторов \(\overrightarrow{FA}\), \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{AE}\):

\(\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB}\)

Теперь разложим каждый из этих векторов по исходным векторам:

\(\overrightarrow{FA} = \frac{1}{8} \cdot \overrightarrow{DA}\), так как отношение \(DE:EA = 1:7\)

\(\overrightarrow{AE} = \frac{7}{8} \cdot \overrightarrow{DA}\), так как отношение \(DE:EA = 1:7\)

\(\overrightarrow{EB} = \frac{7}{8} \cdot \overrightarrow{CB}\), так как отношение \(CF:FB = 1:7\)

Теперь можем написать окончательное разложение вектора \(\overrightarrow{FE}\):

\(\overrightarrow{FE} = \frac{1}{8} \cdot \overrightarrow{DA} + \frac{7}{8} \cdot \overrightarrow{DA} + \frac{7}{8} \cdot \overrightarrow{CB}\)

2. В общем случае, когда отношение \(DE:EA = 1:n\) и \(CF:FB = 1:n\), мы можем использовать аналогичные разложения.

Разложение вектора \(\overrightarrow{FE}\) будет иметь вид:

\(\overrightarrow{FE} = \frac{1}{n+1} \cdot \overrightarrow{DA} + \frac{n}{n+1} \cdot \overrightarrow{DA} + \frac{n}{n+1} \cdot \overrightarrow{CB}\)

Таким образом, формула для разложения вектора \(\overrightarrow{FE}\) в общем случае будет:

\(\overrightarrow{FE} = \frac{1}{n+1} \cdot \overrightarrow{DA} + \frac{n}{n+1} \cdot \overrightarrow{DA} + \frac{n}{n+1} \cdot \overrightarrow{CB}\)