Выберите отрезок A на числовой прямой, такой что выражение ( (x принадлежит A) → (x принадлежит P) ) или (x принадлежит

Moroznyy_Polet_3359

65

Чтобы решить эту задачу, мы должны определить отрезок A на числовой прямой, удовлетворяющий условию:

\[
((x \in A) \rightarrow (x \in P)) \vee (x \in Q)
\]

Давайте проанализируем это выражение пошагово.

1. Начнем с первой части выражения \((x \in A) \rightarrow (x \in P)\). Это выражение говорит о том, что если число \(x\) принадлежит отрезку \(A\), то оно также должно принадлежать отрезку \(P\). То есть, если \(x\) находится в отрезке \(A\), то оно должно быть включено в отрезок \(P\).

2. Вторая часть выражения \((x \in Q)\) говорит о том, что число \(x\) должно принадлежать отрезку \(Q\).

3. И наконец, комбинируем оба условия с использованием логического оператора \(\vee\) (логическое "или"). Это значит, что выражение будет истинным, если хотя бы одно из условий выполняется.

Теперь, чтобы найти такой отрезок \(A\), который удовлетворяет всем условиям, воспользуемся следующим подходом:

1. Рассмотрим отрезки \(P\) и \(Q\) на числовой прямой.

2. Если существует общая область пересечения этих двух отрезков, то выбираем эту область для отрезка \(A\), так как в этом случае всякий \(x\) из этой области будет принадлежать как \(P\), так и \(Q\) (так как пересекает оба отрезка).

3. Если общей области пересечения нет, то отрезок \(A\) будет пустым множеством, так как невозможно выбрать такой отрезок, чтобы условие выполнилось.

Теперь рассмотрим примеры для наглядности:

Пример 1:
Пусть отрезки \(P\) и \(Q\) на числовой прямой имеют общую область пересечения:

\[P: [2, 5]\]
\[Q: [4, 7]\]

В этом случае отрезок \(A\) будет равен общей области пересечения отрезков \(P\) и \(Q\), то есть \([4, 5]\). Всякий \(x\) из этого отрезка будет принадлежать и \(P\), и \(Q\).

Пример 2:
Пусть отрезки \(P\) и \(Q\) не имеют общей области пересечения:

\[P: [1, 3]\]
\[Q: [4, 6]\]

В этом случае отрезок \(A\) будет пустым множеством, так как невозможно выбрать такой отрезок \(A\), чтобы выполнялось условие задачи.

Таким образом, ответ на задачу будет зависеть от отрезков \(P\) и \(Q\) на числовой прямой. Если у них есть общая область пересечения, то такой отрезок \(A\) будет существовать и будет равен этой области пересечения. Если общей области пересечения нет, то отрезок \(A\) будет пустым множеством.