Вычислите математическое ожидание, вариацию и стандартное отклонение дискретной случайной величины Х, имеющей заданную

Svetik

58

Для вычисления математического ожидания, вариации и стандартного отклонения дискретной случайной величины \(X\) с помощью таблицы распределения, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Проверьте, что сумма вероятностей в таблице равна 1. Если сумма не равна 1, то в таблице есть ошибка.

Шаг 2: Вычислите математическое ожидание \(E(X)\) следующим образом:
\[E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) + \ldots + x_n \cdot P(X = x_n)\]
где \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) - значения случайной величины \(X\), а \(P(X = x_1), P(X = x_2), \ldots, P(X = x_n)\) - соответствующие вероятности.

Шаг 3: Вычислите вариацию \(\text{Var}(X)\) следующим образом:
\[\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2\]
где \(E(X^2)\) - ожидаемое значение квадрата случайной величины \(X\).

Шаг 4: Вычислите стандартное отклонение \(\sigma(X)\) следующим образом:
\[\sigma(X) = \sqrt{\text{Var}(X)}\]

Теперь рассмотрим пример. Пусть у нас есть следующая таблица распределения для случайной величины \(X\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
1 & 0.2 \\
2 & 0.3 \\
3 & 0.5 \\
\hline
\end{array}
\]

Шаг 1: Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
\(0.2 + 0.3 + 0.5 = 1\), поэтому можете приступать к следующему шагу.

Шаг 2: Вычислим математическое ожидание \(E(X)\):
\(E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.5 = 0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3\)

Шаг 3: Вычислим вариацию \(\text{Var}(X)\):
\(\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2\)

Для вычисления \(E(X^2)\):
\(E(X^2) = 1^2 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 0.3 + 3^2 \cdot 0.5 = 0.2 + 1.2 + 2.25 = 3.65\)

Теперь вычислим вариацию:
\(\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3.65 - 2.3^2 = 3.65 - 5.29 = -1.64\)

Заметьте, что полученное значение отрицательное. Это может означать либо наличие ошибки в таблице распределения, либо использование неправильной формулы. Проверьте данные и формулы на ошибки и повторите вычисления снова, если это необходимо.

Шаг 4: Вычислим стандартное отклонение \(\sigma(X)\):
\(\sigma(X) = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{-1.64}\)
Полученное значение является комплексным числом. Если это происходит, значит где-то допущена ошибка, и нужно повторить вычисления.

Это пример решения задачи по вычислению математического ожидания, вариации и стандартного отклонения дискретной случайной величины \(X\). Помните, что ваши конкретные значения могут отличаться от приведенного примера, но принцип решения останется тем же.