Вычислите сумму следующего выражения: 1 + 2 + 22 + ... + 2131 + 2 + 22 + ... + 26. Ответ: 1. Какая формула используется

Барон_127

30

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу суммы конечной арифметической прогрессии.

Мы видим, что выражение состоит из нескольких частей, где каждая часть имеет сумму арифметической прогрессии. Надо найти сумму каждой из этих прогрессий.

Первая прогрессия начинается с 1 и имеет разность 1. Чтобы найти сумму этой прогрессии, мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

\[S_1 = \frac{n_1}{2} \cdot (a_1 + l_1)\],

где \(S_1\) - сумма прогрессии, \(n_1\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(l_1\) - последний член прогрессии.

В данном случае у нас \(n_1 = 1\), \(a_1 = 1\), \(l_1 = 1\), поэтому сумма первой прогрессии равна:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot (1 + 1) = 1\].

Вторая прогрессия начинается с 2 и также имеет разность 1. Используя ту же формулу, получаем:

\[S_2 = \frac{n_2}{2} \cdot (a_2 + l_2)\],

где \(S_2\) - сумма второй прогрессии, \(n_2\) - количество членов второй прогрессии, \(a_2\) - первый член второй прогрессии, \(l_2\) - последний член второй прогрессии.

В данном случае у нас \(n_2 = 21\), \(a_2 = 2\), \(l_2 = 22\), поэтому сумма второй прогрессии равна:

\[S_2 = \frac{21}{2} \cdot (2 + 22) = 231\].

Далее, мы видим, что у нас есть несколько прогрессий, каждая следующая прогрессия начинается на \(n_i = n_{i-1} + 21\) и заканчивается на \(l_i = n_i + 20\). Мы можем продолжить этот процесс, пока не достигнем прогрессии, где \(n_i + 21 > 2131\). В данном случае у нас это будет прогрессия, где \(n = 26\).

Теперь мы можем найти сумму всех прогрессий с помощью формулы суммы конечной арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a + l)\],

где \(S\) - сумма всех прогрессий, \(n\) - количество членов всех прогрессий, \(a\) - первый член последней прогрессии, \(l\) - последний член последней прогрессии.

В данном случае у нас \(n = 26\), \(a = 2\), \(l = 26\), поэтому сумма всех прогрессий равна:

\[S = \frac{26}{2} \cdot (2 + 26) = 364\].

Таким образом, сумма выражения 1 + 2 + 22 + ... + 2131 + 2 + 22 + ... + 26 равна 364.