Взяли случайную выборку из брачного агентства, состоящую из 345 человек. Оказалось, что 210 из них нашли себе пару

Сверкающий_Джентльмен

61

Для начала, давайте посчитаем точечную оценку доли всех людей, обратившихся в агентство и нашедших себе пару. Для этого мы можем взять отношение числа людей, нашедших себе пару, к общему числу людей в выборке:

\[
\hat{p} = \frac{\text{число людей, нашедших себе пару}}{\text{общее число людей в выборке}}
\]

В нашем случае, число людей, нашедших себе пару, равно 210, а общее число людей в выборке равно 345. Подставим эти значения в формулу и получим:

\[
\hat{p} = \frac{210}{345} \approx 0.609
\]

Таким образом, точечная оценка доли всех людей, обратившихся в агентство и нашедших себе пару, равна 0.609.

Теперь перейдем к построению 95% доверительного интервала для этой доли. Для этого воспользуемся формулой для доверительного интервала для доли биномиального распределения:

\[
\hat{p} \pm Z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}
\]

где \(Z\) - критическое значение стандартного нормального распределения, \(n\) - размер выборки.

Для 95% доверительного интервала, \(Z\) равно приблизительно 1.96 (это критическое значение для стандартного нормального распределения, соответствующее 95% доверительному интервалу).

Теперь нам нужно найти минимальный объем выборки, для которого предельная ошибка выборки по доле всех людей, обратившихся в это агентство и нашедших себе пару, не превысит 0.015. Предельная ошибка выборки по доле вычисляется по формуле:

\[
E = Z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}
\]

Нам дано, что \(E\) должно быть меньше или равно 0.015. Подставим известные значения в формулу и получим:

\[
0.015 = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.609 \cdot (1 - 0.609)}{n}}
\]

Теперь решим это уравнение относительно \(n\):

\[
n = \left(\frac{1.96 \cdot 0.609 \cdot (1 - 0.609)}{0.015} \right)^2 \approx 921.6
\]

Мы получили, что минимальный объем выборки, для которого предельная ошибка выборки по доле всех людей, обратившихся в это агентство и нашедших себе пару, не превышает 0.015, равен приблизительно 922.

Таким образом, 95% доверительный интервал для доли всех людей, обратившихся в агентство и нашедших себе пару, составляет:

\[
0.609 \pm 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.609 \cdot (1 - 0.609)}{345}}
\]

И минимальный объем выборки, для которого предельная ошибка выборки по доле не превышает 0.015, равен 922.