What are the measurements of triangle ABC if AC is equal to 43.8 cm, angle B is 30 degrees, and angle C is 60 degrees?

Космическая_Следопытка

47

Для решения этой задачи, нам понадобятся свойства и формулы треугольников. Первым шагом мы можем использовать закон синусов, который позволяет нам найти отношение между сторонами и углами треугольника.

Закон синусов гласит: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - соответствующие им углы.

В нашем случае, у нас есть сторона \(AC\), равная 43.8 см, и углы \(B\) и \(C\), равные 30 градусов и 60 градусов соответственно. Мы можем обозначить стороны треугольника следующим образом:

\(a\) - сторона, противолежащая углу \(A\), то есть \(BC\),
\(b\) - сторона, противолежащая углу \(B\), то есть \(AC\),
\(c\) - сторона, противолежащая углу \(C\), то есть \(AB\).

Мы знаем, что \(b = 43.8\) см, \(B = 30^\circ\) и \(C = 60^\circ\). Теперь мы можем записать уравнение с использованием закона синусов:

\[
\frac{BC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin A}
\]

Подставив известные значения, получим:

\[
\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{43.8}{\sin A}
\]

Мы также знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому угол \(A\) можно найти следующим образом:

\(A = 180^\circ - B - C\)

В нашем случае:

\(A = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ\)

\(A = 90^\circ\)

Теперь, зная угол \(A\), мы можем найти значение \(\sin A\) и решить уравнение:

\[
\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{43.8}{\sin 90^\circ}
\]

\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\sin 90^\circ = 1\), поэтому:

\[
\frac{BC}{\frac{1}{2}} = \frac{43.8}{1}
\]

Умножая обе стороны на \(\frac{1}{2}\), получим:

\[
BC = \frac{43.8}{2} = 21.9 \text{ см}
\]

Таким образом, сторона \(BC\) равна 21.9 см.

После этого, чтобы найти остальные стороны треугольника, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. В нашем случае, используя теорему косинусов для треугольника \(ABC\), мы можем записать:

\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\]

Где \(a\) - сторона противолежащая углу \(A\), \(b\) - сторона противолежащая углу \(B\), и \(c\) - сторона противолежащая углу \(C\).

Зная значения \(b = 43.8\) см, \(c = 21.9\) см и \(A = 90^\circ\), мы можем решить это уравнение и найти значение \(a\).

\[
a^2 = (43.8)^2 + (21.9)^2 - 2 \cdot 43.8 \cdot 21.9 \cdot \cos 90^\circ
\]

Поскольку \(\cos 90^\circ = 0\), то:

\[
a^2 = (43.8)^2 + (21.9)^2 - 0
\]

\[
\Rightarrow a^2 = (43.8)^2 + (21.9)^2
\]

Вычисляя это значение, получим:

\[
a^2 = 1917.84 + 480.81
\]

\[
\Rightarrow a^2 = 2398.65
\]

Извлекая квадратный корень на обеих сторонах, получим:

\[
a = \sqrt{2398.65} \approx 48.97 \text{ см}
\]

Таким образом, сторона \(a\) примерно равна 48.97 см.

Сводя все вместе, мы получаем следующие измерения треугольника \(ABC\): \(AB \approx 48.97\) см, \(BC = 21.9\) см и \(AC = 43.8\) см.