What are the minimum and maximum values of the power function y=x^3/2 on the semi-interval (3;4)?

Karamelka

22

Чтобы найти минимальное и максимальное значения функции мощности \(y = x^{\frac{3}{2}}\) на полуинтервале \((3;4)\), мы можем использовать производные функции для анализа ее поведения.

Давайте начнем с нахождения производной функции \(y = x^{\frac{3}{2}}\). Для этого применим правило дифференцирования для функций вида \(y = x^n\), где \(n\) является постоянным числом:

\[
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}\left(x^{\frac{3}{2}}\right) \\
&= \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} \\
&= \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \\
&= \frac{3}{2}\sqrt{x}
\end{align*}
\]

Теперь найдем критические точки путем решения уравнения \(\frac{dy}{dx} = 0\):

\[
\frac{3}{2}\sqrt{x} = 0
\]

Так как \(\frac{3}{2}\) не равно нулю, уравнение не имеет решения.

Это означает, что наша функция \(y = x^{\frac{3}{2}}\) не имеет экстремумов (минимумов или максимумов) в пределах полуинтервала \((3;4)\).

Однако, для полного ответа на ваш вопрос, давайте узнаем, как функция ведет себя на границах полуинтервала.

Подставим \(x=3\) в функцию \(y = x^{\frac{3}{2}}\):

\[
y = 3^{\frac{3}{2}} = 3\sqrt{3}
\]

То есть, минимальное значение функции на полуинтервале \((3;4)\) равно \(3\sqrt{3}\).

Теперь подставим \(x=4\) в функцию \(y = x^{\frac{3}{2}}\):

\[
y = 4^{\frac{3}{2}} = 4\sqrt{4} = 4\cdot 2 = 8
\]

Следовательно, максимальное значение функции на полуинтервале \((3;4)\) равно 8.

Итак, минимальное значение функции \(y=x^{\frac{3}{2}}\) на полуинтервале \((3;4)\) равно \(3\sqrt{3}\), а максимальное значение равно 8.