What is the equation that relates sin values of 16, 24, and 40 to the cosine values of 20, 12

Viktoriya

48

Данная задача может быть решена с использованием тригонометрического тождества, известного как "Формула выбора тригонометрической функции" или "Формула моста". Данная формула устанавливает связь между значениями синусов и косинусов углов.

Формула моста имеет следующий вид:
\[\sin(A+B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B\]

Давайте применим эту формулу к нашей задаче.

Пусть:
- \(A\) - значение угла, синус которого нам известен (16 градусов)
- \(B\) - значение угла, синус которого нам известен (24 градуса)
- \(C\) - значение угла, синус которого нам известен (40 градусов)

Также вспомним, что косинусы дополнительных углов совпадают.
Таким образом, углы \(A\), \(B\) и \(C\) являются дополнительными друг к другу: \(A + B + C = 180\) градусов.

У нас также есть информация о значениях косинусов углов:
- \(\cos(20^\circ)\) и \(\cos(12^\circ)\)

Теперь мы можем использовать формулу моста и собрать все составляющие, чтобы получить искомое уравнение:

\[\sin(A+B+C) = \sin(A+B) \cdot \cos(C)+ \cos(A+B) \cdot \sin(C)\]

Поскольку \(A + B + C = 180^\circ\), мы можем заменить синус и косинус этого угла, что не изменит его значение:
\[\sin(180^\circ) = \sin(A+B) \cdot \cos(C)+ \cos(A+B) \cdot \sin(C)\]

Известно, что синус 180 градусов равен 0, поэтому уравнение преобразуется следующим образом:
\[0 = \sin(A+B) \cdot \cos(C)+ \cos(A+B) \cdot \sin(C)\]

Мы заметим, что в данном уравнении мы используем сумму углов \(A\) и \(B\), а также угла \(C\).

Теперь, чтобы получить искомое уравнение, мы должны выразить синус суммы \(A+B\) и косинус суммы \(A+B\) известными нам синусами и косинусами.

Для этого мы воспользуемся следующими формулами:
\[\sin(A+B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B\]
\[\cos(A+B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B\]

Подставим эти значения в наше уравнение:

\[0 = (\sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B) \cdot \cos C + (\cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B) \cdot \sin C\]

Теперь мы можем раскрыть скобки и упростить уравнение:

\[0 = \sin A \cdot \cos B \cdot \cos C + \cos A \cdot \sin B \cdot \cos C + \cos A \cdot \cos B \cdot \sin C - \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C\]

Это и есть искомое уравнение, которое связывает значения синусов и косинусов данных углов.