Постройте график функции y=f(x) и определите, является ли функция непрерывной при х0=1

Сумасшедший_Кот

7

Хорошо, чтобы построить график функции \(y = f(x)\), нам сначала нужно определить, какая функция \(f(x)\) дана в задаче.

Поскольку функция \(f(x)\) не задана нами, я не могу дать точный ответ на эту задачу. Однако я могу объяснить вам, что такое непрерывная функция и показать, как определить непрерывность функции на примере.

Функция называется непрерывной в точке \(x = x_0\), если выполнены следующие условия:
1. Значение функции \(f(x)\) определено в точке \(x_0\).
2. Предел функции \(f(x)\) при \(x\) стремящемся к \(x_0\) существует.
3. Значение предела равно значению функции в точке \(x_0\).

Давайте для примера рассмотрим функцию \(f(x) = x^2\). Чтобы определить, является ли эта функция непрерывной в точке \(x_0 = 1\), выполним следующие шаги:

Шаг 1: Определение значения функции в точке \(x_0 = 1\).
Подставим \(x = 1\) в функцию \(f(x) = x^2\):
\[f(1) = 1^2 = 1\]

Шаг 2: Определение предела функции при \(x\) стремящемся к \(x_0 = 1\).
Вычислим предел функции \(f(x) = x^2\) при \(x\) стремящемся к 1:
\[\lim_{{x \to 1}} f(x) = \lim_{{x \to 1}} x^2\]

Шаг 3: Сравнение значения предела и значения функции в точке \(x_0 = 1\).
Вычислим предел функции \(f(x) = x^2\) при \(x\) стремящемся к 1:
\[\lim_{{x \to 1}} x^2 = 1^2 = 1\]

Значение предела равно значению функции в точке \(x_0 = 1\), поэтому функция \(f(x) = x^2\) является непрерывной в точке \(x_0 = 1\).

После определения непрерывности функции, мы можем построить её график. Для этого, построим график функции \(f(x) = x^2\):

\[
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={f(x)},
xmin=-5, xmax=5,
ymin=-5, ymax=5,
grid=both,
axis lines=middle,
width=8cm,
height=8cm,
scale=0.8
]
\addplot [domain=-5:5, samples=100, color=blue]{x^2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\]

На графике выше изображена функция \(f(x) = x^2\).