What is the equivalent expression for tg(x) + tg(180°- x) + ctg(360°- x) in terms of ctg(180°

Denis

4

Чтобы найти эквивалентное выражение для \( \tan(x) + \tan(180°-x) + \cot(360°-x) \) в терминах \( \cot(180°) \), давайте подробно разберемся с каждым слагаемым.

1. Рассмотрим первое слагаемое \( \tan(x) \). Используя формулу тангенса суммы двух углов, мы можем записать:

\[ \tan(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}} \]

2. Перейдем ко второму слагаемому \( \tan(180°-x) \). Заметим, что \( \tan(180°-x) = -\tan(x) \), так как тангенс угла с периодом 180° имеет симметричную функцию около оси ординат. Поэтому, мы можем переписать:

\[ \tan(180°-x) = -\tan(x) = -\frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}} \]

3. Теперь рассмотрим третье слагаемое \( \cot(360°-x) \). Используя формулу котангенса суммы двух углов, мы получаем:

\[ \cot(360°-x) = -\cot(x) \]

4. Также, зная определение котангенса, мы можем выразить \( \cot(x) \) через тангенс:

\[ \cot(x) = \frac{1}{{\tan(x)}} \]

5. Теперь нам нужно выразить \( \cot(180°) \) через тангенс. Заметим, что \( 180° \) является особым значением, при котором тангенс равен нулю. Следовательно, котангенс будет бесконечным:

\[ \cot(180°) = \frac{1}{{\tan(180°)}} = \frac{1}{0} = \infty \]

Объединяя все выражения, получаем:

\[ \tan(x) + \tan(180°-x) + \cot(360°-x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}} - \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}} - \frac{1}{{\tan(x)}} = \frac{{\sin(x) - \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}}{{\cos(x) \cdot \sin(x)}} \]

Теперь мы можем упростить числитель использованием тригонометрической формулы разности синусов:

\[ \sin(x) - \sin(x) \cos(x) - \cos(x) = \sin(x) \left(1 - \cos(x)\right) - \cos(x) = \sin(x) - \sin(x) \cos(x) - \cos(x) \]

Используя формулу синуса двойного угла, \( \sin(2x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) \), можем переписать последнее выражение:

\[ \sin(x) - \sin(x) \cos(x) - \cos(x) = \sin(x) - \frac{1}{2} \cdot \sin(2x) - \cos(x) \]

Таким образом, эквивалентное выражение будет:

\[ \frac{{\sin(x) - \frac{1}{2} \cdot \sin(2x) - \cos(x)}}{{\cos(x) \cdot \sin(x)}} \]

Надеюсь, что это пошаговое объяснение помогло вам понять, как получить эквивалентное выражение для данной задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!