Найти решение данного уравнения: косинус x умножить на котангенс x минус корень из 3 умножить на косинус x равно нулю

Ledyanaya_Pustosh

17

Конечно! Для решения данного уравнения, необходимо найти значения \(x\), при которых уравнение становится верным.

У нас есть уравнение: \(\cos(x) \cdot \cot(x) - \sqrt{3} \cdot \cos(x) = 0\)

Давайте решим его пошагово:

1. Факторизация уравнения:
Начнем с факторизации уравнения, вынесем \(\cos(x)\) за скобки:
\(\cos(x) \cdot (\cot(x) - \sqrt{3}) = 0\)

2. Разделение на множители:
Теперь, так как произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю.
Итак, у нас есть два возможных случая:

a) \(\cos(x) = 0\)

b) \(\cot(x) - \sqrt{3} = 0\)

3. Решение первого случая:
Первое уравнение \(\cos(x) = 0\) имеет решения вида \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - любое целое число.
Когда \(\cos(x) = 0\), это означает, что \(x\) является кратным значениям \(\frac{\pi}{2}\).

4. Решение второго случая:
Второе уравнение \(\cot(x) - \sqrt{3} = 0\) можно решить, приведя к единице тангенса:
\(\cot(x) = \sqrt{3}\)
\(\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \sqrt{3}\)

Разделим обе части на \(\sin(x)\):
\(\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sqrt{3}}{\sin(x)}\)

Мы знаем, что \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\) и \(\sin(x) = \frac{1}{\csc(x)}\), поэтому:
\(\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\sqrt{3}}{\sin(x)}\)

Теперь, сократим \(\sin(x)\) с обеих сторон:
\(1 = \sqrt{3} \cdot \tan(x)\)

Разделим обе стороны на \(\sqrt{3}\):
\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \tan(x)\)

Найдем обратную тангенсу от обеих сторон:
\(x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
Приближенно, \(x \approx 0.615\)

5. Итоговое решение:
Итак, уравнение \(\cos(x) \cdot \cot(x) - \sqrt{3} \cdot \cos(x) = 0\) имеет два типа решений:
a) Для \(\cos(x) = 0\): \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - любое целое число.
b) Для \(\tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}\): \(x \approx 0.615\) или в радианах \(x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

Пожалуйста, обратите внимание, что я предоставил результаты в аналитической форме и поверхностно в численной форме. Вы можете выбрать соответствующий метод решения, который вам более удобен, и заменить значения переменной \(x\) в уравнении, чтобы убедиться в его верности.