What is the equivalent expression of the equation: sin^2(4/x + pi/4)sin^2(4/x - pi/4) = 0.375sin^2(-pi/4)?

Zayka_8912

28

Для начала, мы можем посмотреть на заданное выражение и попытаться упростить его. Задание состоит в поиске эквивалентного выражения для данного уравнения:

\[ \sin^2\left(\frac{4}{x} + \frac{\pi}{4}\right) \sin^2\left(\frac{4}{x} - \frac{\pi}{4}\right) = 0.375 \sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) \]

Для удобства решения этой задачи, давайте проведем некоторые преобразования.

Сначала, давайте заменим значение \(-\frac{\pi}{4}\) на другую переменную, будем называть её \(a\) (потому что в изначальном уравнении это просто константа):

\[ \sin^2\left(\frac{4}{x} + \frac{\pi}{4}\right) \sin^2\left(\frac{4}{x} - \frac{\pi}{4}\right) = 0.375 \sin^2(a) \]

Теперь, мы можем использовать тригонометрические тождества для дальнейшего упрощения.

Здесь мы видим произведение двух квадратов синусов, которое можно упростить с помощью формулы косинуса двойного угла:

\[ \sin^2(\alpha)\sin^2(\beta) = \frac{1}{4}\left(1 - \cos(2\alpha)\right)\left(1 - \cos(2\beta)\right) \]

Применяя это тождество к нашему уравнению:

\[ \frac{1}{4}\left(1 - \cos\left(2\left(\frac{4}{x} + \frac{\pi}{4}\right)\right)\right) \left(1 - \cos\left(2\left(\frac{4}{x} - \frac{\pi}{4}\right)\right)\right) = 0.375 \sin^2(a) \]

Теперь нам нужно раскрыть оба косинуса двойного угла:

\[ \frac{1}{4}\left(1 - \cos\left(\frac{8}{x} + \frac{\pi}{2}\right)\right)\left(1 - \cos\left(\frac{8}{x} - \frac{\pi}{2}\right)\right) = 0.375 \sin^2(a) \]

Мы можем упростить косинусы и получить следующее:

\[ \frac{1}{4}\left(1 - \cos\left(\frac{8}{x} + \frac{\pi}{2}\right)\right)\left(1 - \cos\left(\frac{8}{x} + \frac{\pi}{2}\right)\right) = 0.375 \sin^2(a) \]

Теперь мы видим выражение, состоящее из двух разных косинусов, но с одним и тем же аргументом. Мы можем упростить его с помощью формулы разности косинусов:

\[ \cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}\left(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\right) \]

Применяя эту формулу, мы получаем:

\[ \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{16}{x}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\right)\left(1 - \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{16}{x}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\right) = 0.375 \sin^2(a) \]

Так как \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\), мы можем дальше упростить это выражение:

\[ \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{2}\left(\cos\frac{16}{x}\right)\right)\left(1 - \frac{1}{2}\left(\cos\frac{16}{x}\right)\right) = 0.375 \sin^2(a) \]

После упрощения, мы получили следующее уравнение:

\[ \left(1 - \frac{1}{2}\cos\frac{16}{x}\right)^2 = 0.375 \sin^2(a) \]

Таким образом, эквивалентным выражением для данного уравнения будет:

\[ \left(1 - \frac{1}{2}\cos\frac{16}{x}\right) = \sqrt{0.375}\sin(a) \]

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять процесс решения и преобразования исходного уравнения.