№1. Перепишите многочлены в виде произведения: 1. 7х2 - 28, 2) 3a3 - 108a, 3) 3x2 - 48xy + 192y2, 4) 75a6 + 30a4

Морозный_Король_1469

2

Конечно! Давайте по порядку решим каждое задание.

№1. Перепишите многочлены в виде произведения:

1. \(7x^2 - 28\)

Чтобы переписать этот многочлен в виде произведения, мы должны найти такие многочлены, которые при умножении дадут нам исходный многочлен. Заметим, что \(7x^2\) и \(28\) делятся на \(7\). Используя это, мы можем записать:

\[7x^2 - 28 = 7(x^2 - 4)\]

2. \(3a^3 - 108a\)

В данном случае, общим множителем является \(3a\), который можно вынести за скобки:

\[3a^3 - 108a = 3a(a^2 - 36)\]

3. \(3x^2 - 48xy + 192y^2\)

Здесь мы видим, что все коэффициенты делятся на 3. Поэтому мы можем представить это выражение следующим образом:

\[3x^2 - 48xy + 192y^2 = 3(x^2 - 16xy + 64y^2)\]

4. \(75a^6 + 30a^4 - 3a^2\)

Обратим внимание на то, что в каждом члене есть \(a^2\). Мы можем использовать это, чтобы вынести общий множитель за скобки:

\[75a^6 + 30a^4 - 3a^2 = 3a^2(25a^4 + 10a^2 - 1)\]

5. \(x^2 + 2xy + y^2 - 64\)

Это выражение является квадратом суммы двух членов \(x\) и \(y\). Мы можем записать это следующим образом:

\[x^2 + 2xy + y^2 - 64 = (x + y)^2 - 8^2\]

6. \(m^2 + 16n^2 + 8mn - b^2\)

Здесь у нас два квадратных члена \(m^2\) и \(b^2\), а также кросс-член \(8mn\), который может быть сгруппирован:

\[m^2 + 16n^2 + 8mn - b^2 = (m^2 + 8mn + 16n^2) - b^2\]

7. \(a^2 - c^2 - 6a + 9\)

Это разность квадратов \(a^2\) и \(c^2\), поэтому мы можем записать это следующим образом:

\[a^2 - c^2 - 6a + 9 = (a - c)^2 - (6a - 9)\]

Таким образом, мы переписали каждый многочлен в виде произведения.

№2. Найдите решение уравнений:

1. \(7x^3 - 28x = 0\)

Чтобы найти решение этого уравнения, мы должны найти значения \(x\), при которых выражение равно нулю. Здесь мы можем вынести общий множитель \(7x\):

\[7x(x^2 - 4) = 0\]

Таким образом, у нас есть два случая:

- \(7x = 0\), что дает нам \(x = 0\)
- \(x^2 - 4 = 0\), что дает нам \(x = \pm 2\)

Итак, решениями уравнения \(7x^3 - 28x = 0\) являются \(x = 0\) и \(x = \pm 2\).

2. \(81x^3 + 36x^2 + 4x = 0\)

В данном случае, мы также можем вынести общий множитель \(x\):

\[x(81x^2 + 36x + 4) = 0\]

Мы видим, что внутри скобки у нас есть квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Для нашего уравнения имеем:

\(a = 81\), \(b = 36\), \(c = 4\)

\[\Delta = (36)^2 - 4(81)(4) = 1296 - 1296 = 0\]

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть одно решение:

\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{-36}{2(81)} = -\frac{2}{9}\]

3. \(x^3 + 4x^2 + 4x + 16 = 0\)

Здесь мы можем заметить, что первые три члена \(x^3 + 4x^2 + 4x\) образуют квадратный трехчлен \((x + 2)^2\). Поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[(x + 2)^2 + 16 = 0\]

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы вычитаем 16 и берем квадратный корень:

\[(x + 2)^2 = -16\]

Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как невозможно возвести любое действительное число в квадрат и получить отрицательное число.

4. \(x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0\)

Мы не можем вынести общий множитель в этом уравнении, поэтому нам нужно использовать другие методы для его решения. Одним из способов является использование рациональных корней.

Можно применить теорему о рациональных корнях, чтобы указать на возможные рациональные корни числителя и знаменателя (в данном случае, коэффициентов перед \(x^3, x^2, x\) и свободного члена). Потенциальные рациональные корни будут делителями свободного члена (в данном случае, 18) и делителями ведущего коэффициента (в данном случае, 1). Все такие делители можно найти и проверить, решая самостоятельно. Однако для упрощения задачи я могу предоставить следующий корень:

\[x = 2\]

Если мы подставим \(x = 2\) в уравнение, мы получим:

\[(2)^3 - 2(2)^2 - 9(2) + 18 = 8 - 8 - 18 + 18 = 0\]

Таким образом, решение уравнения \(x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0\) равно \(x = 2\).

5. \(a^4 + 2a^3 + 8a + 16 = 0\)

Это уравнение не может быть разложено на произведение линейных множителей, и мы не можем просто вынести общий множитель. В данном случае, мы можем использовать итерационный метод для приближенного решения, такой как метод деления пополам или метод Ньютона. Однако, это выходит за рамки данной задачи, поэтому я не могу дать точное решение этому уравнению.

Я надеюсь, что эти подробные решения были понятны для вас. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!