What is the expression for the logarithm of 21 to the base 3, multiplied by the logarithm of 21 to the base 7, divided

Евгеньевна

6

Хорошо, давайте начнем с решения задачи. Мы должны найти выражение для логарифма числа 21 по основанию 3, умноженного на логарифм числа 21 по основанию 7, деленное на сумму логарифма числа 21 по основанию 3 и логарифма числа 21 по основанию \(a\). Давайте обозначим данное выражение через \(x\).

Начнем с нахождения логарифма числа 21 по основанию 3. По определению логарифма, мы ищем число, к которому нужно возвести 3, чтобы получить 21. Выглядит это так: \(3^x = 21\). Давайте найдем значение \(x\).

Мы можем представить число 21 в виде произведения простых множителей: \(21 = 3 \cdot 7\). Следовательно, у нас есть: \(3^x = 3 \cdot 7\).

Теперь мы знаем, что \(3^x = 3 \cdot 7\). Чтобы решить уравнение относительно \(x\), возьмем логарифм от обеих частей этого уравнения по основанию 3. Получим: \(\log_3(3^x) = \log_3(3 \cdot 7)\).

Согласно свойствам логарифмов, логарифм от числа, возведенного в степень, равен этой степени. Поэтому наша формула упрощается до \(x = \log_3(3 \cdot 7)\).

Определение логарифма числа 21 по основанию 7 работает аналогично. Мы ищем значение \(y\), для которого выполняется уравнение \(7^y = 21\). Выражая 21 как произведение простых множителей, получим \(7^y = 3 \cdot 7\). Взятие логарифма обеих частей этого уравнения по основанию 7 приведет к \(y = \log_7(3 \cdot 7)\).

Теперь нам нужно найти сумму \(\log_3(21)\) и \(\log_a(21)\). Мы можем применить свойство логарифмов, которое гласит, что \(\log_b(m \cdot n) = \log_b(m) + \log_b(n)\), чтобы получить \(\log_3(21) + \log_a(21)\).

Таким образом, наше исходное выражение \(x\) станет:

\[
x = \frac{\log_3(21) \cdot \log_7(21)}{\log_3(21) + \log_a(21)}
\]

Пожалуйста, обратите внимание, что значение \(a\) не определено в задаче, поэтому мы оставили его в выражении для логарифма числа 21 по основанию \(a\). Если бы значение \(a\) было задано, мы могли бы подставить его в это выражение.