What is the length of AB if CA is 16 cm and CB is 30 cm? Simplify the fractions. Find the value of sin angle B

Skvoz_Vremya_I_Prostranstvo

12

Дано, что CA равно 16 см, а CB равно 30 см. Мы должны найти длину стороны AB. Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данном случае, сторона AB является гипотенузой треугольника, а стороны CA и CB являются катетами. Поэтому, мы можем использовать теорему Пифагора следующим образом:

\[AB^2 = CA^2 + CB^2\]
\[AB^2 = 16^2 + 30^2\]
\[AB^2 = 256 + 900\]
\[AB^2 = 1156\]

Теперь найдем значение стороны AB. Мы можем найти квадратный корень из 1156:

\[AB = \sqrt{1156}\]
\[AB = 34\]

Таким образом, длина стороны AB составляет 34 см.

Теперь перейдем к углу B. Для нахождения значений sin и cos угла B, нам нужно знать длины сторон противолежащей и прилежащей катетов в прямоугольном треугольнике.

В данном случае, сторона противолежащая углу B - это сторона CB (катет), а сторона прилежащая углу B - это сторона CA (катет).

Мы можем использовать следующие формулы:

\[\sin B = \frac{{\text{{противолежащая сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{CB}}{{AB}} = \frac{{30}}{{34}}\]
\[\cos B = \frac{{\text{{прилежащая сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{CA}}{{AB}} = \frac{{16}}{{34}}\]

Теперь найдем значения sin и cos угла B:

\[\sin B = \frac{{30}}{{34}}\]
\[\cos B = \frac{{16}}{{34}}\]

Далее, мы можем упростить дроби. Для этого нам нужно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя дробей.

Наибольший общий делитель числителя 30 и знаменателя 34 равен 2, поэтому мы можем упростить дробь \(\frac{{30}}{{34}}\) следующим образом:

\[\sin B = \frac{{30}}{{34}} = \frac{{15}}{{17}}\]

Аналогично, наибольший общий делитель числителя 16 и знаменателя 34 равен 2, поэтому мы можем упростить дробь \(\frac{{16}}{{34}}\) следующим образом:

\[\cos B = \frac{{16}}{{34}} = \frac{{8}}{{17}}\]

Таким образом, угол B имеет значение \(\sin B = \frac{{15}}{{17}}\) и \(\cos B = \frac{{8}}{{17}}\)