What is the length of the base of the pyramid, the angle between the lateral face and the base, and the surface area

Ярослав

23

Конечно, я помогу вам. Давайте начнем с построения диаграммы для более наглядной иллюстрации задачи.

Дано, что усеченная пирамида имеет регулярный треугольный основание. Обозначим сторону основания через $a$. Известно, что апофема (отрезок, проведенный из центра основания перпендикулярно его плоскости) равна 8, а высота пирамиды равна $4\sqrt{2}$.

Для начала найдем длину стороны основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды. Заметим, что этот треугольник является прямоугольным, так как он образован перпендикулярной прямой и двумя сторонами пирамиды.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

$$\begin{array}{rl}(\frac{a}{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2& =8^2\\ \frac{a^2}{4}+32& =64\\ \frac{a^2}{4}& =64-32\\ \frac{a^2}{4}& =32\\ a^2& =4\times 32\\ a^2& =128\\ a& =\sqrt{128}\\ a& =8\sqrt{2}\end{array}$$

Таким образом, длина стороны основания пирамиды равна $8\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим угол между боковой гранью и основанием пирамиды. Этот угол будет равен углу между боковой гранью и плоскостью основания. Из регулярности основания пирамиды, угол между сторонами пирамиды будет равен ${60}^{\circ }$. Так как боковая грань является треугольником с двумя сторонами, равными сторонам основания, оставшийся угол также будет ${60}^{\circ }$.

Итак, угол между боковой гранью и основанием пирамиды составляет ${60}^{\circ }$.

Наконец, мы можем найти площадь поверхности пирамиды. Площадь поверхности включает в себя площадь основания и площадь боковых граней. Площадь основания треугольной пирамиды равна:

$$\text{Площадь основания}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times a^2$$

Подставляя значение $a=8\sqrt{2}$, получаем:

$$\text{Площадь основания}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (8\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 128=32\sqrt{3}$$

Периметр боковой грани можно найти с помощью формулы:

$$\text{Периметр боковой грани}=3a$$

Подставляя значение $a=8\sqrt{2}$, получаем:

$$\text{Периметр боковой грани}=3\times (8\sqrt{2})=24\sqrt{2}$$

Теперь можем найти площадь боковой грани пирамиды, используя формулу:

$$\text{Площадь боковой грани}=\frac{\text{Периметр боковой грани}\times \text{высота пирамиды}}{2}$$

Подставляя значения, получаем:

$$\text{Площадь боковой грани}=\frac{24\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}}{2}=48$$

Итак, площадь поверхности пирамиды равна:

$$\text{Площадь поверхности}=\text{Площадь основания}+\text{Площадь боковой грани}=32\sqrt{3}+48$$