What is the length of the longest segment parallel to the y-axis and lying inside the region bounded by the parabolas

Печенька

68

Для решения этой задачи нам нужно сначала найти точки пересечения двух заданных парабол.

1. Найдем точки пересечения \(y=x^2-5x+3\) и \(y=1-x^2\).

Для этого приравняем выражения и решим полученное уравнение:

\[ x^2 - 5x + 3 = 1 - x^2 \]

\[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу для нахождения корней:

\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} \]
\[ x = \frac{5 \pm 3}{4} \]

Получаем два значения x: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\).

Теперь найдем соответствующие значения y в данных точках:

Для \(x = 2\):

\[ y = 2^2 - 5 \cdot 2 + 3 = 4 - 10 + 3 = -3 \]

Для \(x = \frac{1}{2}\):

\[ y = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 5 \cdot \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 3 = \frac{1}{4} - \frac{10}{4} + \frac{12}{4} = \frac{3}{4} \]

Таким образом, точки пересечения парабол: \(A(2, -3)\) и \(B\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)\).

2. Теперь найдем длину самого длинного отрезка, параллельного оси y и находящегося внутри заданной области.

Для этого найдем разность между y-координатами этих двух точек:

\[ \Delta y = \frac{3}{4} - (-3) = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4} \]

Таким образом, длина самого длинного отрезка, параллельного оси y и находящегося внутри заданной области, равна \( \frac{15}{4} \) или 3.75.