What is the limit of the numerical sequence xn=4/√n—1/n+4+2/√3?

Schuka_5402

12

Хорошо, я помогу вам решить эту задачу. Для начала, давайте выполним преобразования выражения последовательности. Выражение xn=4/√n—1/n+4+2/√3 может быть переписано следующим образом:

\[x_n = \frac{4}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n+4} + \frac{2}{\sqrt{3}}\]

Теперь, чтобы найти предел этой последовательности, нам нужно проанализировать его приближение, когда n стремится к бесконечности. Найдем предел каждого из слагаемых по отдельности.

Первое слагаемое \(\frac{4}{\sqrt{n}}\) можно упростить, учитывая, что \(\sqrt{n}\) растет бесконечно при n стремящемся к бесконечности. Таким образом, предел этого слагаемого равен 0, поскольку числитель остается конечным, а знаменатель стремится к бесконечности.

Второе слагаемое \(\frac{1}{n+4}\) также будет стремиться к 0, поскольку при n, стремящемся к бесконечности, знаменатель будет бесконечно большим.

Третье слагаемое \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) представляет собой постоянное значение, не зависящее от n. Таким образом, предел этого слагаемого равен этой константе, а именно \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).

Теперь мы можем объединить эти пределы, чтобы найти предел всей последовательности. Так как сумма пределов равна пределу суммы, получаем:

\[lim_{n \to \infty} x_n = 0 - 0 + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, предел данной числовой последовательности равен \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).

Надеюсь, это помогло вам понять решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.