What is the rewritten form of the expression: (cosx - cosy)^2 - (sinx - siny)^2 = -4sin((x-y)/2)cos(x+y)?

Синица_8270

63

Давайте разложим выражение по шагам и найдем его переписанную форму:

1. Начнем с левой стороны выражения: (cosx - cosy)^2 - (sinx - siny)^2

2. Применим формулу разности квадратов: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

3. Применим формулу косинуса разности: cos(x - y) = cosx*cosy + sinx*siny

4. Применим формулу синуса разности: sin(x - y) = sinx*cosy - cosx*siny

Теперь перепишем левую часть выражения:

(cosx - cosy)^2 - (sinx - siny)^2
= (cosx)^2 - 2*cosx*cosy + (cosy)^2 - ((sinx)^2 - 2*sinx*siny + (siny)^2)
= cos^2x - 2*cosx*cosy + cos^2y - sin^2x + 2*sinx*siny - sin^2y
= cos^2x + sin^2x - 2*cosx*cosy + 2*sinx*siny + cos^2y - sin^2y
= 1 - 2*cosx*cosy + 2*sinx*siny + cos^2y - sin^2y

Теперь рассмотрим правую часть выражения:

-4*sin((x-y)/2)cos(x+y)

Посмотрим на эту часть по частям:

-4*sin((x-y)/2)*cos(x+y)

Теперь применим формулу половинного угла для синуса: sin(x/2) = √((1-cosx)/2)

Получим:

-4*(-2*√((1 - cos(x-y))/2)*√((1 + cos(x+y))/2))
= 8*√((1 - cos(x-y))/2)*√((1 + cos(x+y))/2)

Таким образом, переписанная форма выражения будет:

1 - 2*cosx*cosy + 2*sinx*siny + cos^2y - sin^2y = 8*√((1 - cos(x-y))/2)*√((1 + cos(x+y))/2)

Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять переписанную форму этого выражения.