What is the set of points on the coordinate plane defined by the system of inequalities: {y ≤ -1/2 x^2 + 2; {y

Igorevna

7

Для начала решим первое уравнение: y ≤ -\frac{1}{2}x^2 + 2.

Сначала построим график данного уравнения. Для этого заметим, что это парабола с вершиной в точке (0, 2) и направленная вниз. Коэффициент -\frac{1}{2} перед x^2 говорит о том, что парабола шире, чем обычная парабола. Теперь нарисуем эту параболу на координатной плоскости:

\[
\begin{align*}
\begin{array}{ccc}
\text{x} & \text{y} \\
-4 & 2 \\
-3 & 1.5 \\
-2 & 1 \\
-1 & 0.5 \\
0 & 2 \\
1 & 1.5 \\
2 & 1 \\
3 & 0.5 \\
4 & 2 \\
\end{array}
\end{align*}
\]

Теперь приступим ко второй части системы неравенств: y > x^2 - 4.

Второе уравнение - парабола с вершиной в точке (0, -4) и направленная вверх. Заметим, что знак неравенства строгий (">"), поэтому неравенство выполняется для точек на параболе, но не включая ее саму. Нарисуем данную параболу на той же координатной плоскости:

\[
\begin{align*}
\begin{array}{ccc}
\text{x} & \text{y} \\
-4 & 0 \\
-3 & 1 \\
-2 & 0 \\
-1 & -3 \\
0 & -4 \\
1 & -3 \\
2 & 0 \\
3 & 1 \\
4 & 0 \\
\end{array}
\end{align*}
\]

Теперь мы должны найти пересечение графиков обоих уравнений. Это место, где оба неравенства выполняются одновременно. Визуально это можно определить как область на координатной плоскости, где оба графика пересекаются.

\[
\begin{align*}
\begin{array}{ccc}
\text{x} & \text{y} \\
-4 & 0 \\
-3 & 1 \\
-2 & 0 \\
-1 & -3 \\
0 & -4 \\
1 & -3 \\
2 & 0 \\
3 & 0.5 \\
4 & 2 \\
\end{array}
\end{align*}
\]

Таким образом, искомое множество точек на координатной плоскости определяется пересечением области, ограниченной графиками двух уравнений:

\[
\begin{align*}
\begin{array}{ccc}
\text{x} & \text{y} \\
-3 & 1 \\
-2 & 0 \\
-1 & -3 \\
0 & -4 \\
1 & -3 \\
2 & 0 \\
\end{array}
\end{align*}
\]

Множество точек, удовлетворяющих системе неравенств, представлено выше.