What is the set of values for the function y = sinx - 5cosx? Find the set of values for the function y = 1 - 8cos^2

Belenkaya

14

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Найдем множество значений для функции \(y = \sin x - 5\cos x\).

Для начала вспомним свойства синуса и косинуса. Синус и косинус - это две тригонометрические функции, которые определены для любого угла.

Заметим, что сумма функций \(\sin x\) и \(-5\cos x\) также будет функцией. Для того чтобы найти множество значений этой функции, нужно определить, какие значения могут принимать синус и косинус.

Синус может принимать значения от -1 до 1, а косинус также может принимать значения от -1 до 1. Поэтому сумма \(\sin x - 5\cos x\) может принимать значения от -1 - 5 до 1 + 5.

Таким образом, множество значений для функции \(y = \sin x - 5\cos x\) - это интервал от -6 до 6.

2. Теперь найдем множество значений для функции \(y = 1 - 8\cos^2 x \sin^2 x\).

Используем свойство двойного угла для косинуса и синуса:

\[
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1
\]
\[
\sin 2x = 2\sin x \cos x
\]

Заметим, что выражение \(8\cos^2 x \sin^2 x\) похоже на произведение \((2\sin x \cos x)^2 = \sin^2 2x\).

Тогда функция может быть записана как:

\[
y = 1 - \sin^2 2x
\]

Это очень похоже на тождество тригонометрии:

\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]

Мы можем сделать замену \(\theta = 2x\), тогда:

\[
y = 1 - \sin^2 2x = \cos^2 2x
\]

Таким образом, множество значений для функции \(y = 1 - 8\cos^2 x \sin^2 x\) - это интервал от 0 до 1.

3. Теперь докажем ограниченность функции \(y = \frac{\cos x}{1.5} - \sin x\).

Чтобы доказать ограниченность, мы должны найти такие значения функции, которые будут наибольшими и наименьшими.

Заметим, что значение функции зависит от значения косинуса и синуса. Косинус может принимать значения от -1 до 1, а синус также может принимать значения от -1 до 1.

Подставим эти значения в функцию и найдем наибольшее и наименьшее значение.

Найдем наименьшее значение:

\[
\frac{\cos x}{1.5} - \sin x = \frac{1}{1.5} - 1 = \frac{1}{1.5} - \frac{3}{3} = \frac{1-3}{1.5} = -\frac{2}{1.5} = -\frac{4}{3}
\]

Теперь найдем наибольшее значение:

\[
\frac{\cos x}{1.5} - \sin x = \frac{-1}{1.5} - (-1) = \frac{-1}{1.5} + \frac{3}{3} = \frac{-1+3}{1.5} = \frac{2}{1.5} = \frac{4}{3}
\]

Таким образом, функция \(y = \frac{\cos x}{1.5} - \sin x\) ограничена значениями от \(-\frac{4}{3}\) до \(\frac{4}{3}\).