Найдите упрощенное выражение для 1-(sin^2x-2cos^2x) и его значение при x=π/6

Звездный_Снайпер

66

Хорошо, давайте решим задачу.

Дано выражение: \(1 - (\sin^2x - 2\cos^2x)\).

Для начала, раскроем скобки внутри выражения:
\[1 - \sin^2x + 2\cos^2x.\]

Заметим, что второе слагаемое содержит косинусный квадрат, который можно переписать с использованием тригонометрической тождества \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\):
\[1 - \sin^2x + 2(1 - \sin^2x).\]

Теперь у нас есть два слагаемых, содержащих \(\sin^2x\). Объединим их в одно:
\[1 - \sin^2x + 2 - 2\sin^2x.\]

Сложим числовые значения:
\[3 - 3\sin^2x.\]

Это упрощенное выражение для заданной функции.

Теперь найдем значение этого выражения при \(x=\frac{\pi}{6}\). Подставим \(x\) в выражение и выполним необходимые вычисления:
\[3 - 3\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right).\]

Сначала найдем значение \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\). Это значение можно найти с помощью таблицы значений тригонометрических функций или с использованием калькулятора. Значение синуса угла \(\frac{\pi}{6}\) равно \(\frac{1}{2}\).

Подставим это значение обратно в выражение:
\[3 - 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 - 3\cdot\frac{1}{4} = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}.\]

Итак, упрощенное выражение равно \(\frac{9}{4}\), когда \(x=\frac{\pi}{6}\).