What is the simplified form of this expression: (9^x-2*3^x)^2-62(9^x-2*3^x)-63?

Скрытый_Тигр

34

Хорошо, давайте решим данное выражение по шагам, чтобы понять, как его упростить.

1. Начнем с первого слагаемого \((9^x-2*3^x)^2\). Чтобы упростить это выражение, нам понадобится знать два правила:
- Квадрат разности: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- Квадрат квадратного многочлена: \((a^2)^2 = a^4\)

Применим первое правило к \((9^x-2*3^x)^2\) и получим:
\((9^x)^2 - 2(9^x)(2*3^x) + (2*3^x)^2\)

Теперь применим второе правило к каждому слагаемому:
\(9^{2x} - 2(9^x)(2*3^x) + 4(3^x)^2\)

Получили упрощенную форму для первого слагаемого.

2. Перейдем ко второму слагаемому \(-62(9^x-2*3^x)\). Здесь мы можем применить дистрибутивное правило умножения:
\(-62*9^x + 62*2*3^x\)

Упрощаем полученное выражение.

3. Наконец, рассмотрим последнее слагаемое \(-63\).

Теперь, соберем все слагаемые вместе и проведем упрощение:

\(9^{2x} - 2(9^x)(2*3^x) + 4(3^x)^2 - 62*9^x + 62*2*3^x - 63\)

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые, содержащие одинаковые степени переменных. У нас есть слагаемые с \(9^x\) и слагаемые с \(3^x\):

\(9^{2x} - 62*9^x - 2(9^x)(2*3^x) + 62*2*3^x + 4(3^x)^2 - 63\)

Обратите внимание, что у нас имеется общий множитель \(-1\), который мы можем вынести за скобки:

\(-1(62*9^x - 9^{2x} - 2*2*3^x*9^x + 2*2*3^x*62 + 4*(3^x)^2 - 63)\)

Используя коммутативность и ассоциативность сложения, мы можем переставить слагаемые внутри скобок так, чтобы сгруппировать слагаемые с \(9^x\), \(3^x\) и свободные слагаемые:

\(-1(-9^{2x} + 62*9^x - 2*2*9^x*3^x + 2*62*3^x + 4*(3^x)^2 - 63)\)

А теперь, используя те же самые правила, что и в начале, упростим каждое слагаемое:

\(-1(-9^{2x} + 60*9^x - 4*3^x*9^x + 124*3^x + 4*(3^x)^2 - 63)\)

И, наконец, мы получили упрощенное выражение:

\(-9^{2x} + 60*9^x - 4*3^x*9^x + 124*3^x + 4*(3^x)^2 - 63\)