What is the value of the expressions a) sin(133°)cos(73°)-cos(133°)sin(73°

Baska

9

Рассмотрим задачу по порядку.

a) Нам дано выражение \( \sin(133°) \cos(73°) - \cos(133°) \sin(73°) \). Чтобы вычислить его значение, пользуемся тригонометрическими формулами.

1. Формула произведения синусов: \( \sin(a) \sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)] \).
2. Формула произведения косинусов: \( \cos(a) \cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a + b) + \cos(a - b)] \).

Применяем эти формулы и подставляем значения:

\[
\begin{align*}
\sin(133°) \cos(73°) - \cos(133°) \sin(73°) &= \frac{1}{2}[\cos(133° - 73°) - \cos(133° + 73°)] - \frac{1}{2}[\cos(133° + 73°) + \cos(133° - 73°)] \\
&= \frac{1}{2}[\cos(60°) - \cos(206°)] - \frac{1}{2}[\cos(206°) + \cos(60°)] \\
&= \frac{1}{2}[\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})] - \frac{1}{2}[(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}] \\
&= \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\
&= \frac{1}{2}.
\end{align*}
\]

Итак, значение выражения a) равно \( \frac{1}{2} \).

b) В данном случае нам нужно вычислить значение выражения \( \cos(\frac{\pi}{14}) \cos(\frac{19\pi}{28}) - \sin(\frac{\pi}{14}) \sin(\frac{19\pi}{28}) \).

Применяем тригонометрические формулы:

\[
\cos(a) \cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a + b) + \cos(a - b)], \quad \sin(a) \sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)].
\]

Подставляем значения:

\[
\begin{align*}
\cos(\frac{\pi}{14}) \cos(\frac{19\pi}{28}) - \sin(\frac{\pi}{14}) \sin(\frac{19\pi}{28}) &= \frac{1}{2}[\cos(\frac{\pi}{14} + \frac{19\pi}{28}) + \cos(\frac{\pi}{14} - \frac{19\pi}{28})] - \frac{1}{2}[\cos(\frac{\pi}{14} - \frac{19\pi}{28}) - \cos(\frac{\pi}{14} + \frac{19\pi}{28})] \\
&= \frac{1}{2}[\cos(\frac{15\pi}{14}) + \cos(\frac{9\pi}{28})] - \frac{1}{2}[\cos(\frac{9\pi}{28}) - \cos(\frac{15\pi}{14})] \\
&= \frac{1}{2}[\cos(\pi - \frac{\pi}{14}) + \cos(\frac{9\pi}{28})] - \frac{1}{2}[\cos(\frac{9\pi}{28}) - \cos(\pi - \frac{\pi}{14})] \\
&= \frac{1}{2}[\cos(\frac{13\pi}{14}) + \cos(\frac{9\pi}{28})] - \frac{1}{2}[\cos(\frac{9\pi}{28}) - \cos(\frac{13\pi}{14})] \\
&= \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 \\
&= \frac{1}{2}.
\end{align*}
\]

Итак, значение выражения b) также равно \( \frac{1}{2} \).

Таким образом, мы рассмотрели оба выражения и получили значение каждого из них - \( \frac{1}{2} \.