What is the value of x if 2 x = (1 + tan 0.01 degrees)(1 + tan 0.02 degrees)(1 + tan 0.03 degrees)...(1 + tan 44.99

Ябеда

36

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить значение выражения \(2x = (1 + \tan(0.01^\circ))(1 + \tan(0.02^\circ))(1 + \tan(0.03^\circ)) \ldots (1 + \tan(44.99^\circ))\).

Для начала, заметим, что наше выражение содержит последовательность тангенсов с различными углами. Для упрощения решения, предлагаю воспользоваться свойством тригонометрической функции тангенса: \(\tan(-\theta) = -\tan(\theta)\). Воспользуемся этим свойством и заметим, что \(\tan(0.01^\circ) = \tan(-0.01^\circ), \tan(0.02^\circ) = \tan(-0.02^\circ)\) и так далее, до \(\tan(22.49^\circ) = \tan(-22.49^\circ)\).

Теперь мы можем заменить каждый член выражения на более простую форму. Для примера, заменим член \((1 + \tan(0.01^\circ))\) на \((1 - \tan(-0.01^\circ))\), так как \(\tan(-0.01^\circ) = -\tan(0.01^\circ)\).

Теперь раскроем скобки и применим математические преобразования:

\[
\begin{align*}
2x & = (1 - \tan(-0.01^\circ))(1 - \tan(-0.02^\circ))(1 - \tan(-0.03^\circ)) \ldots (1 - \tan(-22.49^\circ)) \cdot (1 + \tan(22.51^\circ))(1 + \tan(22.52^\circ)) \ldots (1 + \tan(44.99^\circ)) \\
& = \frac{{1 - \tan(-0.01^\circ)}}{{1 + \tan(-0.01^\circ)}} \cdot \frac{{1 - \tan(-0.02^\circ)}}{{1 + \tan(-0.02^\circ)}} \cdot \frac{{1 - \tan(-0.03^\circ)}}{{1 + \tan(-0.03^\circ)}} \ldots \frac{{1 - \tan(-22.49^\circ)}}{{1 + \tan(-22.49^\circ)}} \cdot (1 + \tan(22.51^\circ))(1 + \tan(22.52^\circ)) \ldots (1 + \tan(44.99^\circ))
\end{align*}
\]

Теперь мы видим, что каждое выражение вида \(\frac{{1 - \tan(-\theta)}}{{1 + \tan(-\theta)}}\) применимо к теореме тангенсов: \(\frac{{1 - \tan(-\theta)}}{{1 + \tan(-\theta)}} = \tan(\theta)\).

Продолжим вычисления:

\[
2x = \tan(0.01^\circ) \cdot \tan(0.02^\circ) \cdot \tan(0.03^\circ) \ldots \tan(22.49^\circ) \cdot (1 + \tan(22.51^\circ))(1 + \tan(22.52^\circ)) \ldots (1 + \tan(44.99^\circ))
\]

Это выражение содержит последовательность тангенсов с различными углами, а также произведение выражений вида \((1 + \tan(\theta))\).

Теперь воспользуемся свойством тригонометрической функции тангенса: \(\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) = \tan(\alpha + \beta)\).

Продолжим вычисления:

\[
2x = \tan(0.01^\circ + 0.02^\circ + 0.03^\circ + \ldots + 22.49^\circ) \cdot (1 + \tan(22.51^\circ))(1 + \tan(22.52^\circ)) \ldots (1 + \tan(44.99^\circ))
\]

Дальше заметим, что сумма углов от \(0.01^\circ\) до \(22.49^\circ\) представляет собой арифметическую прогрессию, где первый член \(a = 0.01^\circ\), последний член \(l = 22.49^\circ\), и количество членов \(n = \frac{{l - a}}{{0.01^\circ}} + 1 = 2249\). По формуле суммы арифметической прогрессии получаем:

\[
0.01^\circ + 0.02^\circ + 0.03^\circ + \ldots + 22.49^\circ = \frac{{0.01^\circ + 22.49^\circ}}{2} \cdot 2249 = 22.5^\circ \cdot 2249
\]

Подставляем это значение обратно в выражение и продолжаем вычисления:

\[
2x = \tan(22.5^\circ \cdot 2249) \cdot (1 + \tan(22.51^\circ))(1 + \tan(22.52^\circ)) \ldots (1 + \tan(44.99^\circ))
\]

Теперь нам осталось только вычислить значение тангенса угла \(22.5^\circ \cdot 2249\).

\[
2x \approx \tan(22.5^\circ \cdot 2249)
\]

Чтобы найти значение тангенса, воспользуемся калькулятором или компьютерным программным обеспечением, которое поддерживает тригонометрические вычисления. Ответ округляем до десятитысячных, как указано в задаче.

Пожалуйста, воспользуйтесь подходящим программным обеспечением или калькулятором, чтобы получить точное значение тангенса \(22.5^\circ \cdot 2249\). Когда найдете его, умножьте на 2, чтобы найти значение \(x\). Не забудьте округлить ответ до 0.01.