Where can the minimum point be found in the function y=-21x^2-x^3+32?

Вечный_Мороз

20

Для того чтобы найти минимальную точку функции \(y=-21x^2-x^3+32\), нам необходимо определить точку, в которой функция достигает наименьшего значения. Минимальная точка функции находится в вершине ее параболы.

1. Сначала найдем производную данной функции, чтобы определить, где функция имеет экстремум (минимум или максимум). Для этого возьмем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[y" = \frac{dy}{dx} = -42x - 3x^2\]

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю, так как в этих точках может находиться экстремум:

\[-42x - 3x^2 = 0\]

3. Решим уравнение:

\[x(-42 - 3x) = 0\]

\[x = 0 \quad \text{или} \quad -42 - 3x = 0\]

\[x = 0 \quad \text{или} \quad x = -14\]

Таким образом, у нас две точки, в которых можем иметь минимум.

4. Чтобы определить, в какой из этих точек функция имеет минимум, проанализируем вторую производную в этих точках. Высший порядок производной равный 2 поможет определить, является ли точка экстремумом, и если да, то минимумом или максимумом.

\[y"" = \frac{d^2y}{dx^2} = -42 - 6x\]

5. Подставим найденные точки \(x = 0\) и \(x = -14\) во вторую производную:

Для \(x = 0\): \[y""(0) = -42 - 6 * 0 = -42\]

Для \(x = -14\): \[y""(-14) = -42 - 6 * (-14) = -42 + 84 = 42\]

6. Таким образом, при \(x = 0\) вторая производная отрицательна, что означает, что функция имеет локальный максимум. При \(x = -14\) вторая производная положительна, что означает, что функция имеет локальный минимум.

Итак, минимальная точка функции \(y=-21x^2-x^3+32\) находится при \(x = -14\).