Is it possible to rephrase the following mathematical inequality without changing its meaning? Can 7log(x²-7x+12

Okean

64

Да, данное математическое неравенство можно переформулировать без изменения его значения. Давайте разберемся в этом.

Исходное неравенство: $7\log (x^2-7x+12)\le 8+\log \left(\frac{(x-3{)}^7}{x-4}\right)$

Для начала, воспользуемся свойствами логарифмов. Мы знаем, что $\log (a)+\log (b)=\log (ab)$ и $\log (a)-\log (b)=\log \left(\frac{a}{b}\right)$.

Применим это к исходному неравенству:

$7\log (x^2-7x+12)\le 8+\log \left(\frac{(x-3{)}^7}{x-4}\right)$

Можем переписать неравенство, объединив логарифмы:

$\log ((x^2-7x+12{)}^7)\le \log \left(\frac{(x-3{)}^7}{x-4}\right)+8$

Следующий шаг - избавиться от логарифмов. Для этого применим экспоненту с обоих сторон неравенства.

По свойствам логарифмов, $\log (a)=c$ эквивалентно $a=b^c$.

Применив это к нашему неравенству, получим:

$(x^2-7x+12{)}^7\le \frac{(x-3{)}^7}{x-4}\cdot e^8$

Теперь давайте преобразуем правую часть неравенства. Заменим $e^8$ числом $M$.

Таким образом, мы получим:

$(x^2-7x+12{)}^7\le M\cdot (x-3{)}^7\cdot (x-4{)}^{-1}$

Возведем обе части неравенства в седьмую степень:

$(x^2-7x+12{)}^{49}\le M^7\cdot (x-3{)}^{49}\cdot (x-4{)}^{-7}$

Таким образом, мы переформулировали исходное неравенство без изменения его значения.

Важно отметить, что конкретное число $M$ зависит от выбранного основания логарифма, которое не было указано в задаче. Если указано основание, можно определить конкретное значение $M$.