Is it possible to rephrase the following mathematical inequality without changing its meaning? Can 7log(x²-7x+12

Okean

64

Да, данное математическое неравенство можно переформулировать без изменения его значения. Давайте разберемся в этом.

Исходное неравенство: \(7 \log(x^2 - 7x + 12) \leq 8 + \log\left(\frac{(x-3)^7}{x-4}\right)\)

Для начала, воспользуемся свойствами логарифмов. Мы знаем, что \(\log(a) + \log(b) = \log(ab)\) и \(\log(a) - \log(b) = \log\left(\frac{a}{b}\right)\).

Применим это к исходному неравенству:

\(7 \log(x^2 - 7x + 12) \leq 8 + \log\left(\frac{(x-3)^7}{x-4}\right)\)

Можем переписать неравенство, объединив логарифмы:

\(\log((x^2 - 7x + 12)^7) \leq \log\left(\frac{(x-3)^7}{x-4}\right) + 8\)

Следующий шаг - избавиться от логарифмов. Для этого применим экспоненту с обоих сторон неравенства.

По свойствам логарифмов, \(\log(a) = c\) эквивалентно \(a = b^c\).

Применив это к нашему неравенству, получим:

\((x^2 - 7x + 12)^7 \leq \frac{(x-3)^7}{x-4} \cdot e^8\)

Теперь давайте преобразуем правую часть неравенства. Заменим \(e^8\) числом \(M\).

Таким образом, мы получим:

\((x^2 - 7x + 12)^7 \leq M \cdot (x-3)^7 \cdot (x-4)^{-1}\)

Возведем обе части неравенства в седьмую степень:

\((x^2 - 7x + 12)^{49} \leq M^7 \cdot (x-3)^{49} \cdot (x-4)^{-7}\)

Таким образом, мы переформулировали исходное неравенство без изменения его значения.

Важно отметить, что конкретное число \(M\) зависит от выбранного основания логарифма, которое не было указано в задаче. Если указано основание, можно определить конкретное значение \(M\).