Як багато перших членів треба взяти так, щоб їх сума дорівнювала?

Raduga_Na_Zemle

2

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n),\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - \(n\)-й член.

Нам задано, что сумма первых \(n\) членов равна определенной величине. Пусть эта величина равна \(S\). Тогда уравнение примет вид:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n).\]

Теперь давайте посмотрим на общую формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d,\]

где \(d\) - разность между соседними членами прогрессии.

Подставим это выражение в уравнение:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + (a_1 + (n-1)d)).\]

Упростим выражение:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d).\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(n\). Сначала упростим его:

\[2S = n \cdot (2a_1 + (n-1)d).\]

Раскроем скобки:

\[2S = 2a_1n + nd - nd + n^2 - n.\]

Сократим подобные члены:

\[2S = n^2 + 2a_1n - n.\]

Итак, у нас получается квадратное уравнение:

\[n^2 + 2a_1n - n - 2S = 0.\]

Теперь мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или другие методы решения уравнений, чтобы найти значения \(n\), которые удовлетворяют условию задачи.