Какие значения представляют в себе вершина, ось симметрии, нули функции и интервал убывания данной функции Y=-x^2-6x-7?

Zvezdnaya_Noch

13

Чтобы понять значения представленные в функции \(Y = -x^2 - 6x - 7\), давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности:

1. Вершина функции:
Вершина функции представляет значение, при котором функция достигает своего экстремума - наибольшего или наименьшего значения. Для нашего случая, функция \(Y = -x^2 - 6x - 7\) является параболой направленной вниз, что означает, что вершина будет представлять наибольшее значение. Для нахождения вершины, можно использовать формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты параболы. В данном случае, \(a = -1\), \(b = -6\) и \(c = -7\). Подставим значения в формулу:

\[
x = -\frac{(-6)}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3
\]

Теперь найдем значение функции \(Y\) в этой точке:

\[
Y = -3^2 - 6 \cdot 3 - 7 = -9 -18 - 7 = -34
\]

Таким образом, вершина функции \(Y = -x^2 - 6x - 7\) находится в точке \((3, -34)\).

2. Ось симметрии:
Ось симметрии функции является вертикальной прямой, которая делит график функции на две симметричные половины. Она проходит через вершину функции. Для нашей функции \(Y = -x^2 - 6x - 7\), ось симметрии будет проходить через точку \((3, -34)\).

3. Нули функции:
Нули функции представляют значения \(x\), при которых функция \(Y\) равна нулю. Для нахождения нулей функции, устанавливаем \(Y = 0\) и решаем уравнение:

\[
-x^2 - 6x - 7 = 0
\]

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Если дискриминант положительный, то у уравнения есть два различных корня. Если дискриминант равен нулю, то есть один корень. Если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, \(a = -1\), \(b = -6\) и \(c = -7\). Рассчитаем дискриминант:

\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 36 - 28 = 8
\]

Поскольку дискриминант положительный (\(D > 0\)), у нас будет два различных корня. Используем формулу квадратного корня:

\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставляем значения:

\[
x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{8}}{2 \cdot (-1)} = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{-2} = -3 - \sqrt{2}
\]

\[
x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{8}}{2 \cdot (-1)} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{-2} = -3 + \sqrt{2}
\]

Таким образом, нули функции \(Y=-x^2-6x-7\) равны \(-3 - \sqrt{2}\) и \(-3 + \sqrt{2}\).

4. Интервал убывания:
Интервал убывания функции представляет собой промежуток, на котором функция \(Y\) убывает. Для определения интервала убывания, анализируем коэффициент перед \(x^2\). Поскольку этот коэффициент отрицательный (\(-1\)), функция будет убывать на всей числовой прямой.

Таким образом, интервал убывания для функции \(Y = -x^2 - 6x - 7\) - это все действительные числа.

В этом ответе мы рассмотрели значения представленные в функции \(Y = -x^2 - 6x - 7\) - вершину функции, ось симметрии, нули функции и интервал убывания, давая максимально подробные объяснения и пошаговое решение для лучшего понимания школьником.