Як можна довести, що площини (АВС) і (А1 ,В1, С1) паралельні, коли з вершини трикутника АВС в одному напрямку від його

Pizhon

27

Для доведення, что площади треугольников \((ABC)\) и \((A_1B_1C_1)\) параллельны, мы можем использовать следующие шаги:

1. Сначала докажем, что треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) подобны.

Мы можем заметить, что отрезки \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны соответственным сторонам треугольника \(\triangle ABC\). Поскольку они параллельны, мы можем сделать вывод, что соответствующие углы между этими сторонами треугольников равны. Это дает нам первое условие подобия треугольников.

2. Затем рассмотрим отношение длин сторон треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\).

Поскольку отрезки \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны соответствующим сторонам треугольника \(\triangle ABC\), мы можем сказать, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны с коэффициентом пропорциональности равным отношению длин отрезков. То есть, если обозначить длины сторон треугольника \(\triangle ABC\) как \(AB\), \(BC\) и \(CA\), а длины сторон треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) как \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(C_1A_1\), то мы можем записать:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1}\]

Это второе условие подобия треугольников.

3. Таким образом, мы доказали, что треугольник \(\triangle ABC\) подобен треугольнику \(\triangle A_1B_1C_1\).

Поскольку треугольники подобны, их соответствующие стороны пропорциональны, включая стороны, принадлежащие последовательным вершинам. То есть мы можем сказать, что \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1}\).

Если соответствующие стороны треугольников пропорциональны, то их площади также пропорциональны. Поэтому мы можем сделать вывод, что \(S_{ABC} : S_{A_1B_1C_1} = AB^2 : A_1B_1^2 = BC^2 : B_1C_1^2 = CA^2 : C_1A_1^2\).

4. Так как величины \(AB^2\), \(A_1B_1^2\), \(BC^2\), \(B_1C_1^2\), \(CA^2\) и \(C_1A_1^2\) не изменяются, то это означает, что разность их значений также не изменится. Из этого следует, что площади треугольников \((ABC)\) и \((A_1B_1C_1)\) также будут пропорциональны друг другу и, следовательно, параллельны.

Таким образом, мы получили доказательство того, что площади треугольников \((ABC)\) и \((A_1B_1C_1)\) параллельны, когда из вершин треугольника \(\triangle ABC\) в одном направлении от его плоскости проведены равные и параллельные отрезки \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\).