Як розрахувати кількість сторін правильного многокутника, де зовнішній кут менший від внутрішнього на 108 градусів?

Grigoriy

9

Щоб розрахувати кількість сторін правильного многокутника, де зовнішній кут менший від внутрішнього на 108 градусів, ми можемо скористатися властивістю суми зовнішніх кутів правильного многокутника, яка дорівнює 360 градусам.

Припустимо, що ми маємо n сторін в нашому многокутнику. Кожен внутрішній кут правильного многокутника може бути обчислений за формулою:

\[
\text{{Внутрішній кут}} = \frac{{(n-2) \cdot 180}}{{n}}
\]

Зовнішній кут ми можемо обчислити, використовуючи формулу:

\[
\text{{Зовнішній кут}} = 180 - \text{{Внутрішній кут}}
\]

І заданий нам факт, що зовнішній кут менший від внутрішнього на 108 градусів, нам дає рівняння:

\[
180 - \text{{Внутрішній кут}} = \text{{Внутрішній кут}} - 108
\]

Знаючи це рівняння, ми можемо розв"язати його, щоб знайти значення внутрішнього кута і, відповідно, кількість сторін многокутника. Давайте це зробимо:

Шаг 1: Розв"язати рівняння
\[
180 - \text{{Внутрішній кут}} = \text{{Внутрішній кут}} - 108
\]

Щоб це зробити, додамо \(\text{{Внутрішній кут}}\) обидва боки рівняння:
\[
180 = 2 \cdot \text{{Внутрішній кут}} - 108
\]

Також, додамо 108 до обох боків рівняння:
\[
288 = 2 \cdot \text{{Внутрішній кут}}
\]

Поділимо обидва боки рівняння на 2:
\[
144 = \text{{Внутрішній кут}}
\]

Отже, внутрішній кут многокутника дорівнює 144 градусам.

Шаг 2: Знайти кількість сторін многокутника
Тепер, використовуючи нашу початкову формулу, ми можемо обчислити кількість сторін:

\[
n = \frac{{(180 - \text{{Внутрішній кут}}) \cdot n}}{{180}}
\]

Підставимо значення внутрішнього кута:
\[
n = \frac{{(180 - 144) \cdot n}}{{180}}
\]

Скоротимо дріб:
\[
n = \frac{{36 \cdot n}}{{180}}
\]

Поділимо обидва боки рівняння на 36:
\[
\frac{{n}}{{5}} = 1
\]

Отже, кількість сторін многокутника дорівнює 5.

Отже, відповідь на вашу задачу: кількість сторін правильного многокутника, де зовнішній кут менший від внутрішнього на 108 градусів, дорівнює 5.