Як великою мінімальною швидкістю може рухатись акробат-мотоцикліст по внутрішній поверхні вертикального дерев яного

Sonechka

34

Щоб знайти мінімальну швидкість акробат-мотоцикліста по внутрішній поверхні вертикального дерев"яного циліндра, коли він описує коло в горизонтальній площині, нам потрібно врахувати дію зовнішньої сили, яка виникає з-за тертя між гумою мотоцикла та дерев"яною поверхнею.

Спочатку визначимо силу тертя (\(F_{\text{терт}}\)), використовуючи формулу Ньютона для тертя \(F_{\text{терт}} = \mu \cdot N\), де \(\mu\) - коефіцієнт тертя, \(N\) - нормальна сила, яка дорівнює силі ваги.
Ми можемо визначити нормальну силу \(N\) як \(N = mg\), де \(m\) - маса мотоцикліста, \(g\) - прискорення вільного падіння.
Враховуючи, що маса мотоцикліста не наведена у вихідних даних, ми не можемо точно визначити нормальну силу. Проте для вирішення поставленої задачі нам необхідно визначити мінімальну швидкість, при якій акробат-мотоцикліст зможе рухатись у колі без зсуву вздовж вертикальної поверхні циліндра.
Тому, ми залишимо \(m\) як змінну.

Використовуючи другий закон Ньютона \(F_{\text{центр}} = \frac{mv^2}{r}\), де \(F_{\text{центр}}\) - центростремительна сила, \(v\) - шукана швидкість, \(r\) - радіус кола, по якому рухається мотоцикліст, ми можемо записати:
\(\frac{mv^2}{r} = F_{\text{терт}}\)

Підставляючи вираз для сили тертя відносно маси і враховуючи, що \(F_{\text{терт}} = \mu \cdot N = \mu \cdot mg\), ми отримаємо:
\(\frac{mv^2}{r} = \mu \cdot mg\)

Скасовуючи \(m\) з обох боків рівняння, ми отримуємо:
\(v^2 = \mu \cdot g \cdot r\)

Тепер, щоб знайти мінімальну швидкість, нам потрібно врахувати, що мінімальна швидкість буде тоді, коли сила тертя буде досягати максимальної величини. Максимальна сила тертя виникає, коли коефіцієнт тертя максимальний (\(\mu = 0.5\) у нашому випадку). Таким чином, ми можемо записати:
\(v^2 = \mu_{\text{макс}} \cdot g \cdot r\)

Підставляючи відповідні значення для коефіцієнта тертя (\(\mu = 0.5\)) і прискорення вільного падіння (\(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\)), ми отримаємо:
\(v^2 = 0.5 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 5 \, \text{м}\)

Поширшуючи це рівняння, отримуємо:
\(v^2 = 24.5 \, \text{м}^2/\text{с}^2\)

Щоб знайти саму швидкість, остаточним кроком є обчислення кореня квадратного з обох боків рівняння. Оскільки швидкість не може бути від"ємною (адже це фізично неприпустимо), ми отримуємо:
\(v = \sqrt{24.5} \, \text{м/с} \approx 4.95 \, \text{м/с}\)

Отже, мінімальна швидкість акробат-мотоцикліста, щоб рухатись по внутрішній поверхні вертикального дерев"яного циліндра при опису кола в горизонтальній площині, становить близько 4.95 м/с.