Як відносяться об єми двох куль, якщо їх радіуси відносяться як 2:3?

Lisichka123

58

Для того чтобы понять, как взаимосвязаны объемы двух сфер в условии задачи, необходимо использовать формулу для объема сферы. Формула для объема сферы выглядит следующим образом:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Где V - объем сферы, а r - радиус сферы.

В данной задаче у нас есть две сферы с радиусами, которые относятся между собой как 2:3. Пусть радиус первой сферы будет равен r1, а радиус второй сферы - r2. Исходя из условия, у нас есть следующее соотношение:

\(\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}\)

Мы можем использовать это соотношение, чтобы найти значение одного из радиусов в зависимости от другого. Для этого домножим обе части соотношения на r2:

\(r_1 = \frac{2}{3}r_2\)

Теперь мы можем подставить это значение радиуса в формулу для объема сферы, чтобы узнать, как связаны объемы этих сфер. Подставим значение \(r_1\) в формулу для объема первой сферы и получим:

\(V_1 = \frac{4}{3}\pi (\frac{2}{3}r_2)^3\)

Теперь выполняем вычисления, упрощая формулу, чтобы получить ответ:

\(V_1 = \frac{4}{3}\pi \frac{8}{27}r_2^3\)

Теперь рассмотрим вторую сферу. Подставим значение \(r_2\) в формулу для объема второй сферы:

\(V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3\)

Итак, у нас есть две формулы для объемов двух сфер:

\(V_1 = \frac{4}{3}\pi \frac{8}{27}r_2^3\)

\(V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3\)

Теперь давайте сравним эти объемы. Чтобы проанализировать взаимную зависимость объемов, мы можем поделить объемы сфер на две:

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi \frac{8}{27}r_2^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3}\)

Все общие множители сократятся, включая \(\frac{4}{3}\pi\). Поделив, получим:

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{8}{27}r_2^3}{r_2^3}\)

Видим, что \(r_2^3\) сокращается, и остается:

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{27}\)

Итак, мы видим, что объемы сфер в данной задаче относятся друг к другу как 8:27. Это значит, что объем первой сферы в 8 раз меньше объема второй сферы.