Як зміниться частота коливань математичного маятника при збільшенні амплітуди коливань у k рази? -відношення між часом

Anzhela

53

Частота коливань математичного маятника определяется формулой \(f = \frac{1}{T}\), где \(f\) - частота коливаний, а \(T\) - период колебаний. Период колебаний, в свою очередь, связан с амплитудой колебаний следующим образом: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\), где \(l\) - длина математического маятника, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Рассмотрим как изменится период колебаний при увеличении амплитуды колебаний в \(k\) раз. Пусть изначальная амплитуда колебаний равна \(A\), а после увеличения стала равной \(kA\). Подставим эти значения в формулу для периода колебаний:

\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]
\[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g\cdot (kA)^2}}\]

Очевидно, что \(T_1\) и \(T_2\) изменяются в противоположных направлениях в зависимости от \(k\). Для того чтобы найти соотношение между \(T_1\) и \(T_2\), разделим эти две формулы:

\[\frac{T_2}{T_1} = \frac{\sqrt{\frac{l}{g\cdot (kA)^2}}}{\sqrt{\frac{l}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{g\cdot k^2 A^2}} = \frac{1}{kA}\]

Таким образом, соотношение между \(T_2\) и \(T_1\) равно \(\frac{1}{kA}\), что означает, что период колебаний будет изменяться в обратной пропорции к \(kA\), или, что то же самое, в прямой пропорции к \(\frac{1}{k}\). То есть, при увеличении амплитуды колебаний в \(k\) раз, период колебаний будет уменьшаться в \(k\) раз в сравнении с изначальным периодом.

Следовательно, частота колебаний связана с периодом колебаний следующим образом: \(f = \frac{1}{T}\). При увеличении амплитуды колебаний в \(k\) раз, частота колебаний также изменяется в обратной пропорции, то есть увеличивается в \(k\) раз, по сравнению с изначальной частотой.