Якщо тертя відсутнє, через який час брусок, який штовхнули вгору по похилій площині під кутом 45 градусів до горизонту

Snegurochka

17

Для решения этой задачи нам понадобится использовать законы механики. Первым делом, давайте рассмотрим движение бруска вверх по похилой плоскости.

Известно, что брусок штовхнули вверх с начальной скоростью \(v_0 = 15\) м/с под углом 45 градусов к горизонту. Это означает, что горизонтальная компонента начальной скорости будет равна \(v_{0x} = v_0 \cdot \cos 45^\circ\) (так как \(v_{0x}\) соответствует горизонтальному движению), а вертикальная компонента начальной скорости будет равна \(v_{0y} = v_0 \cdot \sin 45^\circ\) (так как \(v_{0y}\) соответствует вертикальному движению).

На брусок действуют следующие силы: сила тяжести \(F_g\), направленная вниз, и сила трения \(F_f\), которая отсутствует в данной задаче, так как в условии сказано, что трение отсутствует.

Согласно второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на брусок, равна произведению массы бруска на его ускорение. Так как в данной задаче масса бруска не указана, мы можем считать её равной 1 килограмму для упрощения решения.

Тогда сумма сил, действующих на брусок в горизонтальном направлении, будет равна нулю, так как нет никаких горизонтальных сил, а значит и горизонтальное ускорение равно нулю.

Теперь рассмотрим движение бруска в вертикальном направлении. Сила тяжести будет направлена вниз и равна \(F_g = m \cdot g\), где \(m\) - масса бруска, а \(g\) - ускорение свободного падения, которое примерно равно \(9.8\) м/с².

Таким образом, вертикальное ускорение бруска будет равно гравитационному ускорению, \(a_y = g\).

Теперь, чтобы найти время, через которое брусок вернётся в начальную точку на плоскости, нам нужно найти время, за которое брусок достигнет максимальной высоты а и снова вернётся на уровень начальной точки.

Первым шагом найдём время подъёма до максимальной высоты. Для этого воспользуемся законом движения тела в вертикальном направлении:

\[y = y_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

где \(y\) - вертикальная координата бруска в момент времени \(t\), \(y_0\) - начальная вертикальная координата, равная нулю в нашем случае, \(v_{0y}\) - вертикальная компонента начальной скорости, \(g\) - ускорение свободного падения, и \(t\) - время.

Так как брусок вернётся на уровень начальной точки, вертикальная координата должна сравняться с нулём. Подставим эти значения в уравнение и решим его относительно времени:

\[0 = 0 + v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

\[0 = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

\[\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = v_{0y} \cdot t\]

\[t \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot g \cdot t - v_{0y}\right) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения времени: \(t = 0\) и \(t = \frac{2 \cdot v_{0y}}{g}\).

Однако, \(t = 0\) соответствует начальному моменту времени, а не моменту, когда брусок вернётся в начальную точку. Поэтому нас интересует второе значение времени:

\[t = \frac{2 \cdot v_{0y}}{g}\]

Подставим значения \(v_{0y}\) и \(g\) в данное уравнение и рассчитаем время:

\[t = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin 45^\circ}{g}\]

\[t = \frac{2 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{9.8}\]

Таким образом, мы можем рассчитать время, через которое брусок вернётся в начальную точку, по формуле \(t = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin 45^\circ}{g}\). Подставляя численные значения, получаем:

\[t = \frac{2 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{9.8} \approx 1.53\text{ сек}\]

Итак, брусок вернётся в начальную точку примерно через 1.53 секунды.