Як змінюється температура води в каструлі з часом після доливання 2 л окропу температурою 100 °С, при умові

Ivanovna

58

Для розв"язання цієї задачі необхідно враховувати теплообмін між водою і навколишнім середовищем.

Спочатку розглянемо, як температура води буде змінюватися до доливання окропу. Виходячи з умови задачі, початкова температура води в каструлі дорівнює 20 °C. Після доливання окропу, який має температуру 100 °C, вода і окроп будуть знаходитися у тепловому контакті.

Теплообмін між водою і навколишнім середовищем відбувається згідно з законом прохолодження Ньютона, який стверджує, що швидкість зміни температури тіла пропорційна різниці температур між тілом і навколишнім середовищем.

Враховуючи це, можемо записати рівняння:

\[\frac{{dT}}{{dt}} = -k(T - T_{\text{env}})\]

де \(T\) - температура води, \(T_{\text{env}}\) - температура навколишнього середовища (20 °C), \(\frac{{dT}}{{dt}}\) - швидкість зміни температури води з часом, \(k\) - коефіцієнт пропорційності, який залежить від властивостей системи.

Тепер розв"яжемо дане диференціальне рівняння. Для цього використаємо метод розділення змінних.

\[\frac{{dT}}{{T - T_{\text{env}}}} = -k \cdot dt\]

\[\int \frac{{dT}}{{T - T_{\text{env}}}} = -\int k \cdot dt\]

\[\ln|T - T_{\text{env}}| = -kt + C\]

де \(C\) - константа інтегрування.

Для визначення значення константи \(C\) використовуємо початкову умову, що Т = 20 при t = 0.

\[\ln|20 - T_{\text{env}}| = -0 \cdot k + C\]

\[\ln|20 - T_{\text{env}}| = C\]

Тепер використовуємо дану початкову умову, щоб визначити значення константи \(C\).

\[\ln|20 - T_{\text{env}}| = \ln|20 - 20| = \ln(0) \]

Дане рівняння не має розв"язків, оскільки логарифм від нуля недійсний.

Це означає, що наша початкова умова є некоректною, і задача має некоректний постанову.

Можливо, умова задачі потребує додаткового уточнення або виправлення. Викладіть дані задачі, можливо, якісь деталі були пропущені або задані неправильно, і тоді ми зможемо надати більш конкретну відповідь.