Як знайти площу трикутника ABC з відомими сторонами AB = 6 см, AC = 9 см та кутом A = 30°?

Luna_V_Ocheredi

5

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать формулу для вычисления площади треугольника по стороне и двум углам.

Шаг 1: Нам известны две стороны треугольника \(AB = 6\) см и \(AC = 9\) см, а также угол A = 30°. Найдем третью сторону треугольника BC, используя теорему косинусов.

Для нахождения третьей стороны BC воспользуемся следующей формулой:

\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)}\]

Подставляем известные значения:

\[BC = \sqrt{6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos(30^\circ)}\]

\[BC = \sqrt{36 + 81 - 108 \cdot \sqrt{3}/2}\]

\[BC = \sqrt{117 - 54 \cdot \sqrt{3}}\]

\[BC ≈ \sqrt{117 - 93,53}\]

\[BC ≈ \sqrt{23,47}\]

\[BC ≈ 4,85\] см.

Теперь у нас известны все стороны треугольника ABC: AB = 6 см, AC = 9 см, BC ≈ 4,85 см.

Шаг 2: Теперь вычислим площадь треугольника ABC по формуле Герона, так как все стороны треугольника известны:

\[S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, который можно найти по формуле \(p = (AB + AC + BC)/2\).

Подставляем значения сторон в формулу и находим площадь:

\[p = (6 + 9 + 4,85)/2 = 9,925\]

\[S = \sqrt{9,925 \cdot (9,925 - 6) \cdot (9,925 - 9) \cdot (9,925 - 4,85)}\]

\[S = \sqrt{9,925 \cdot 3,925 \cdot 0,925 \cdot 5,075}\]

\[S = \sqrt{178,65 \cdot 0,925 \cdot 5,075}\]

\[S = \sqrt{81,93}\]

\[S ≈ 9,05\] см²

Итак, площадь треугольника ABC со сторонами AB = 6 см, AC = 9 см и углом A = 30° составляет приблизительно 9,05 квадратных сантиметров.