Як знайти значення x, при яких похідна функції f рівна нулю, якщо f(x)=3x^3-x?

Vechnaya_Mechta

53

Чтобы найти значения \(x\), при которых производная функции \(f\) равна нулю, мы должны сначала найти производную функции \(f\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования суммы и разности функций, а также правилом дифференцирования степенной функции.

Итак, у нас задана функция \(f(x) = 3x^3 - x\). Чтобы найти производную этой функции, нам нужно применить правило дифференцирования каждого слагаемого отдельно.

Правило дифференцирования степенной функции гласит, что производная функции \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).

Применяя это правило к первому слагаемому, получаем:

\[
\frac{d}{dx} (3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2
\]

Применяя это правило ко второму слагаемому, получаем:

\[
\frac{d}{dx} (-x) = -1
\]

Теперь мы можем записать производную функции \(f(x)\) как:

\[
f"(x) = 9x^2 - 1
\]

Мы хотим найти значения \(x\), при которых производная равна нулю. Для этого приравняем \(f"(x)\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[
9x^2 - 1 = 0
\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, приведем его к стандартному виду:

\[
9x^2 = 1
\]

Теперь разделим обе части уравнения на 9:

\[
x^2 = \frac{1}{9}
\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[
x = \pm \frac{1}{3}
\]

Таким образом, мы получаем два значения \(x\), при которых производная функции \(f\) равна нулю: \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = -\frac{1}{3}\).