Требуется доказать, что треугольник является равнобедренным, имея полярные координаты его вершин: а(5; п/2

Zabytyy_Sad_9831

18

Чтобы доказать, что треугольник является равнобедренным, нам нужно убедиться, что две его стороны равны между собой. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в полярных координатах.

Формула для расстояния между двумя точками в полярных координатах, записанная в декартовой форме, имеет следующий вид:

\[d = \sqrt{(r_2 \cdot \cos(\theta_2) - r_1 \cdot \cos(\theta_1))^2 + (r_2 \cdot \sin(\theta_2) - r_1 \cdot \sin(\theta_1))^2}\]

где \(d\) - расстояние между точками, \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы-векторы точек, \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - углы аргументы точек.

Итак, применим эту формулу для сторон треугольника, чтобы проверить, действительно ли они равны между собой.

1) Для стороны \(a\) между точками \(а(5; \pi/2)\) и \(в(8; 5\pi/6)\):

\[r_1 = 5, \theta_1 = \pi/2\]
\[r_2 = 8, \theta_2 = 5\pi/6\]

Расстояние \(d_a\) между этими точками будет:

\[d_a = \sqrt{(8 \cdot \cos(5\pi/6) - 5 \cdot \cos(\pi/2))^2 + (8 \cdot \sin(5\pi/6) - 5 \cdot \sin(\pi/2))^2}\]

2) Для стороны \(b\) между точками \(в(8; 5\pi/6)\) и \(с(3,7\pi/6)\):

\[r_1 = 8, \theta_1 = 5\pi/6\]
\[r_2 = 3, \theta_2 = 7\pi/6\]

Расстояние \(d_b\) между этими точками будет:

\[d_b = \sqrt{(3 \cdot \cos(7\pi/6) - 8 \cdot \cos(5\pi/6))^2 + (3 \cdot \sin(7\pi/6) - 8 \cdot \sin(5\pi/6))^2}\]

3) Наконец, для стороны \(c\) между точками \(с(3,7\pi/6)\) и \(а(5; \pi/2)\):

\[r_1 = 3, \theta_1 = 7\pi/6\]
\[r_2 = 5, \theta_2 = \pi/2\]

Расстояние \(d_c\) между этими точками будет:

\[d_c = \sqrt{(5 \cdot \cos(\pi/2) - 3 \cdot \cos(7\pi/6))^2 + (5 \cdot \sin(\pi/2) - 3 \cdot \sin(7\pi/6))^2}\]

Теперь нам нужно вычислить каждое из этих расстояний:

\[d_a = \sqrt{(8 \cdot \cos(5\pi/6) - 5 \cdot 0)^2 + (8 \cdot \sin(5\pi/6) - 5 \cdot 1)^2} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4\sqrt{3} - 5)^2} = \sqrt{16 + 7} = \sqrt{23}\]

\[d_b = \sqrt{(3 \cdot \cos(7\pi/6) - 8 \cdot \cos(5\pi/6))^2 + (3 \cdot \sin(7\pi/6) - 8 \cdot \sin(5\pi/6))^2} = \sqrt{(\frac{3}{2} - 4)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\sqrt{3})^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (-\frac{11\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{363}{4}} = \sqrt{92}\]

\[d_c = \sqrt{(5 \cdot \cos(\pi/2) - 3 \cdot \cos(7\pi/6))^2 + (5 \cdot \sin(\pi/2) - 3 \cdot \sin(7\pi/6))^2} = \sqrt{(0 - \frac{3}{2})^2 + (5 - \frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{(\frac{-3}{2})^2 + (\frac{10 -3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{(10 - 3\sqrt{3})^2}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{100 - 60\sqrt{3} +27}{4}} = \sqrt{\frac{136 - 60\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}\]

Теперь, чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, нам нужно убедиться, что две из этих сторон равны между собой. Обратимся к значениям:

\[d_a = \sqrt{23}\]
\[d_b = \sqrt{92}\]
\[d_c = \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}\]

Мы видим, что \(d_a \neq d_b\), и \(d_a \neq d_c\). Следовательно, данный треугольник не является равнобедренным.

На основе данного подробного анализа, мы можем заключить, что треугольник с заданными полярными координатами вершин не является равнобедренным.