Яка буде швидкість тіл після повністю упругого центрального зіткнення, якщо тіло, що рухається зі швидкістю

Vaska_5541

51

Давайте приступим к решению задачи.

Перед нами задача о полностью упругом центральном столкновении двух тел. Первое тело движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижным телом, масса которого в два раза больше.

Для решения задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Первый закон сохранения импульса состоит в том, что сумма импульсов перед столкновением равна сумме импульсов после столкновения. В нашем случае, импульс - это произведение массы тела на его скорость.

Пусть \(m_1\) и \(v_1\) - масса и скорость первого тела, \(m_2\) и \(v_2\) - масса и скорость второго тела после столкновения.

Согласно закону сохранения импульса, у нас имеется:
\[(m_1 \cdot v_1) + (m_2 \cdot 0) = (m_1 \cdot u_1) + (m_2 \cdot u_2)\]
где \(u_1\) и \(u_2\) - скорости первого и второго тел после столкновения.

Так как второе тело стоит неподвижно, \(v_2\) будет равна 0, и у нас остаётся:
\(m_1 \cdot v_1 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\)

Следующий шаг - закон сохранения кинетической энергии. Он гласит, что сумма кинетических энергий перед столкновением равна сумме кинетических энергий после столкновения.

Кинетическая энергия тела определяется формулой:
\[E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]
где \(m\) - масса тела, \(v\) - скорость тела.

Перед столкновением у нас есть кинетическая энергия первого тела (\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2\)) и второго тела (\(\frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot 0\)).

После столкновения у нас будет кинетическая энергия первого тела (\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot u_1^2\)) и второго тела (\(\frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2^2\)).

Согласно закону сохранения кинетической энергии, у нас имеется:
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot 0 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot u_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2^2\]

Так как второе тело в начале покоится, \(v_2\) и \(u_2\) будут равны 0, и у нас остаётся:
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot u_1^2\]

Теперь, используя эти два уравнения, мы можем решить задачу. Разделим оба уравнения на \(m_1\):
\[v_1 = u_1 + m_2 \cdot u_2\]
\[\frac{1}{2} \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot u_1^2\]

Теперь мы можем подставить значение \(v_1\) из первого уравнения во второе:
\[\frac{1}{2} \cdot (u_1 + m_2 \cdot u_2)^2 = \frac{1}{2} \cdot u_1^2\]

Раскроем квадрат:
\[\frac{1}{2} \cdot (u_1^2 + 2 \cdot u_1 \cdot m_2 \cdot u_2 + (m_2 \cdot u_2)^2) = \frac{1}{2} \cdot u_1^2\]

Упростим уравнение:
\[u_1^2 + 2 \cdot u_1 \cdot m_2 \cdot u_2 + (m_2 \cdot u_2)^2 = u_1^2\]

Сократим уравнение на \(u_1^2\):
\[2 \cdot u_1 \cdot m_2 \cdot u_2 + (m_2 \cdot u_2)^2 = 0\]

Так как масса \(m_2\) больше нуля, получим:
\[2 \cdot u_1 \cdot u_2 + (m_2 \cdot u_2)^2 = 0\]

Мы можем разделить это уравнение на \(u_2\):
\[2 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2 = 0\]
\[2 \cdot u_1 = -m_2 \cdot u_2\]

Теперь мы можем выразить \(u_1\) через \(u_2\):
\[u_1 = -\frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2\]

Из первого уравнения закона сохранения импульса мы можем выразить \(u_2\) через \(v_1\):
\[u_2 = \frac{v_1 - u_1}{m_2}\]

Подставим значение \(u_1\):
\[u_2 = \frac{v_1 - \left(-\frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2\right)}{m_2}\]

Упростим уравнение:
\[u_2 = \frac{v_1 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2}{m_2}\]

Умножим оба выражения уравнения на \(m_2\):
\[u_2 \cdot m_2 = v_1 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2\]

Упростим уравнение:
\[u_2 \cdot m_2 - \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2 = v_1\]

Теперь мы можем выразить \(u_2\) через \(v_1\) и \(m_2\):
\[u_2 = \frac{v_1}{m_2 + \frac{1}{2} \cdot m_2}\]

Упростим уравнение:
\[u_2 = \frac{2 \cdot v_1}{3 \cdot m_2}\]

Теперь мы можем подставить значение \(u_2\) в первое уравнение:
\[u_1 = -\frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot \frac{2 \cdot v_1}{3 \cdot m_2}\]

Упростим уравнение и сократим массу \(m_2\):
\[u_1 = -\frac{1}{3} \cdot v_1\]

Таким образом, скорость первого тела после полностью упругого центрального столкновения будет составлять \(-\frac{1}{3}\) от его начальной скорости.

Подставим значение \(v_1 = 4 \, \text{м/с}\) в полученное уравнение:
\[u_1 = -\frac{1}{3} \cdot 4 = -\frac{4}{3} \, \text{м/с}\]

Ответ: скорость первого тела после полностью упругого центрального столкновения будет равна \(-\frac{4}{3} \, \text{м/с}\).

Я надеюсь, что объяснение было достаточно подробным и понятным. Если у вас возникли ещё какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!